Aloha :)
Der Graph einer Funktion \(y(x)\) wird im Intervall \(y\in[y_1|y_2]\) einmal vollständig um die \(y\)-Achse gedreht. Der Punkt \((x|y)\) auf dem Graphen beschreibt dabei ein Kreis mit dem Radius \(r=x\). Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der \(y\)-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi\cdot r^2\) bzw. \(\pi\cdot x^2\).
Das Volumen \(V_y\) des Rotationskörpers erhalten wir durch Addition aller dieser Kreisflächen entlang der \(y\)-Achse von \(y_1\) bis \(y_2\):$$V_y=\int\limits_{y_1}^{y_2}\pi\cdot x^2\,dy=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}x^2\,dy$$Du musst hier also nicht \(y(x)\) einsetzen, sondern die Umkehrfunktion \(x(y)\) bilden und diese zum Quadrat genommen einsetzen. Die Integration erfolgt entlang der \(y\)-Achse, also sind die Integrationsgrenzen die jeweiligen \(y\)-Werte von Anfangs- und Endpunkt.
In der Aufgabenstellung ist:$$y=f(x)=\frac{32}{9}\,x^2\quad;\quad y_1=f(0)=0\quad;\quad y_2=f(b)=\frac{32}{9}b^2$$Das Rotationsvolumen um die \(y\)-Achse ist:$$V=\pi\int\limits_0^{\frac{32}{9}b^2}\underbrace{\frac{9}{32}\,y}_{=x^2}\,dy=\pi\left[\frac{9}{64}y^2\right]_0^{\frac{32}{9}b^2}=\pi\frac{9}{64}\left(\frac{32}{9}b^2\right)^2=\frac{16}{9}\pi\,b^4$$Wir sollen \(b\) so wählen, dass dieses Volumen gleich \(9\pi\) beträgt:$$\frac{16}{9}\pi\,b^4\stackrel!=9\pi\implies b^4=\frac{81}{16}=\frac{3^4}{2^4}=\left(\frac32\right)^4\implies b=\frac32$$
