Heißt das nun, dass die Relation symmetrisch ist, oder habe ich hier nur einen Denkfehler?

Question

Aufgabe: ich soll zeigen, dass x<y eine Äquivalenzrelation ist.

Problem/Ansatz: Meine generelle Frage ist beim Punkt Symmetrie bzw. auch Implikation. X, y ==> y, x gilt ja.

Man nehme zum Beispiel nun an, dass x=2

bzw. Y=1. Nun ist die Prämisse der Implikation zwar falsch (2<1) aber die Konjunktion ja richtig (1<2). Also ist die. Aussage ist wahr,weil aus falsch folgt bei der Implikation ja wahr. Heißt das nun, dass die Relation symmetrisch ist, oder habe ich hier nur einen Denkfehler?

Answer 1

Hallo :-)

Deine Gesamtaussage ist zwar wahr, aber deine Prämisse ist falsch. Symmetrie heißt: Für alle \(a,b\in M\) gilt: Aus \(a \sim b\) folgt \(b \sim a\). Du kannst nun deine Aussage verdreht anschauen. Dann siehst du, dass die Aussage ,,Aus \(1<2\) folgt \(2<1\) falsch ist. Also liegt keine Symmetrie vor.

Comments

Kann man also sagen, dass x,y → y,x und auch die "umgekehrte" Implikation gilt: y,x-->x,y? Wenn einer dieser Implikationen nicht zutrifft bzw. falsch ist, dann ist die Relation nicht symmetrisch.

Bsp:

x=2

y=1

 2<1--> 1<2 (wahr)

      1<2-->2<1 (falsch)

Die Relation ist nicht symmetrisch, da zwar x,y -->y,x zutrifft jedoch nicht y,x--> x,y  zutrifft.

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Es reicht aus, wenn du nur die falsche Aussage hinschreibst. Du willst es ja widerlegen.

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Ok vielen Dank (: