Hat jede C^∞(R)−Funktion f eine holomorphe Erweiterung?

Question

Aufgabe:

Hat jede C^∞(R)−Funktion f eine holomorphe Erweiterung?

Answer 1

Das ist nicht der Fall,

da eine \(C^{\infty}(\mathbb{R})\)-Funktion nicht notwendig reell-analytisch ist,

siehe hierzu z.B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Glatte_Funktion

Comments

aber wenn ich ein f nehme mit

f(x) = ∑_n=0^∞  a_n(x-x₀) ⁿ  → lim sup \( \sqrt[n]{a_n} \) = 0

R → ∞

f^~(z) = ∑_n=0^∞ a_n(z-x₀) ⁿ , z ∈ ℂ

und dann kann ich sagen dass f^~ (z) holomorph oder?

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Ja. Das ist korrekt.

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also die frage ist dann korrekt ?

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Die am Anfang gestellte Frage ist mit Nein zu beantworten.
Im Wikipedia-Artikel ist doch eine \(C^{\infty}\)-Funktion angegeben,
die sich nicht global in eine Potenzreihe entwickeln lässt.