Was können sie über die Existenz von Extrema sagen, was über die Beschränktheit von f?

Question

Aufgabe:

f: [0,∞) -> ℝ eine stetige Funktion, die für t -> + ∞ konvergiert.

Was können sie über die Existenz von Extrema sagen, was über die Beschränktheit von f ?

Problem/Ansatz:

Meine Idee wenn es kompakt ist, dann weiß ich nach der VL es existiert ein Minimum und ein Maximum.

Ich betrachte hier ein halboffenes Intervall, eigentlich ist dies nicht kompakt da es nicht abgeschlossen ist. Es gibt Folgen die gegen einen Randpunkt konvergieren.

Allerdings ist [a,∞)  ein komplement der offenen Menge, dh. Alle Mengen die von der Form sind wären abgeschlossen.

Gegenbeispiel (a, ∞]  nicht abgeschlossen.

Ich würde sagen ich habe ein abgeschlossenes Intervall was unbeschränkt ist.

Nach oben durch ∞ und nach unten durch 0 abgeschlossen.

-> aus abgeschlossen folgt kompakt

Also ist es nicht beschränkt und es existieren die extrema, richtig ?

Comments

Hallo,

aus abgeschlossen folgt kompakt

Das ist falsch. Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist, das Intervall \([0,\infty)\) ist nicht beschränkt.

Die Funktion arctan liefert ein Beispiel, das zeigt, dass in der gegebenen Situation kein Maximum existiert.

Ich würde erst mal klären, dass eine solche Funktion beschränkt ist.

Gruß Mathhilf

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Ja das Intervall ist abgeschlossen aber nicht beschränkt, warum ist diese Funktion dann beschränkt ?

Es existiert ein Minimum und zugleich ein infimum hier 0

Mich verwirrt das t-> ∞ geht