Wie prüfe ich eine Funktion auf Beschränktheit und eventuelle Extrema? Bsp. f : [0; 2] ℝ ; f(x) := 7*x^3 + e^x

Question

Ich brauche mal Hilfe. Wir haben einige Aufgaben bekommen und ich weiß jetzt nicht genau wie ich bei der Funktion prüfen soll ob sie beschränkt ist und ob sie ein Maximum bzw. Minimum annimmt.

f : [0; 2] ℝ ; f(x) := 7*x³ + e^x

Eine weitere Funktion war

f : [0; 3) ℝ ; f(x) := x

aber da kann man ja einfach sagen, dass Sie durch x < 3 nach oben hin beschränkt ist oder?

Answer 1

Funktion prüfen soll ob sie beschränkt ist und ob sie ein Maximum bzw. Minimum annimmt.

Wenn da keine Polstellen vorkommen und die Funktionen auf dem endlichen(!) Intervall, für das sie definiert sind, stetig sind, wie in deinen Beispielen, sind die auch beschränkt. Maxima und Minima können sich bei deinen Funktionen an einer Stelle mit Ableitung 0 befinden, oder am Rand des Definitionsbereichs.

f : [0; 2] ℝ ; f(x) := 7*x³ + e^x

Beide Summanden sind monoton steigend. Daher ist f(x) monoton steigend und das Minimum ist f(0) = 0 + 1 = 1. Das Maximum ist f(2) = 56 + e^2

Eine weitere Funktion war

f : [0; 3) ℝ ; f(x) := x

aber da kann man ja einfach sagen, dass Sie durch x < 3 nach oben hin beschränkt ist oder?

Richtig. f ist nach unten und nach oben beschränkt. f ist monoton steigend.

Das Minimum ist f(0) = 0. Ein Maximum wird nicht angenommen, da das Intervall rechts bei der 3 offen ist.

Comments

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen! Jetzt verstehe ich das auch allgemein besser :-)