Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit mit Chebyshev ab

Question

Aufgabe:

Sie wählen 100 Zahlen unabhängig voneinander rein zufällig aus dem Intervall \( (0,1) \) aus. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit mit Chebyshev ab, dass die Summe der Zahlen größer als 55 ist.

Problem/Ansatz:

Nachtrag Unsicherheit

Vom Duplikat:

Titel: Tschebyscheff Ungleichung mit stetiger Zufallsvariable

Stichworte: stochastik,zufallsvariable,wahrscheinlichkeit,abschätzen

Hallo zusammen :) Während meiner Heimübung in Stochastik ist eine Frage aufgetaucht.

Aufgabe: Sie wählen 100 Zahlen unabhängig voneinander rein zufällig aus dem Intervall \( (0,1) \) aus. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit mit Tschebyscheff-Ungleichung ab, dass die Summe der Zahlen größer als 55 ist.

Soweit bin ich darauf gekommen:

\(f_{x_i}=1\) , für \(0<x<1,\quad i = 1,..,n\)  und \(0\) sonst. Dann \(Z=X_1+X_2+...+X_{100},\quad X_i=\) Zahl aus \( (0,1) \).

\(E[Z]=\Sigma^{100}_{i=1}E[X_i]=100*\frac{1}{2}=50\). Und da \(X_i\) unabhängig sind, dann gilt \(Var(Z)=100*Var(X_1)=\frac{100}{3}\).

Laut der Ungleichung: \(P(|Z-50|\geq 5)\leq\frac{100}{3}/25)\approx 1.3(3)\). Aber in der Aufgabe steht strikt größer und nicht größer gleich wie in der Ungleichung.

Mir fällt nur etwas so ein: \(P(|Z-50|\geq\lim_{t\rightarrow 5+}t)\leq\frac{100}{3}/ (\lim_{t\rightarrow 5+}t)^2\).

Viele Grüße,
Konstantin

Answer 1

Für die \( ZV \) \( X_i \) gilt $$ E(X_i) = \frac{1}{2} $$ und $$ \text{Var}(X_i) = \frac{1}{12} $$

mit \( Z = \sum_{i=1}^{100} X_i \) gilt $$ E(Z) = 50 $$ und $$ \text{Var}(Z) = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} $$

Wegen $$ P( Z \ge 56 ) \le P( | Z - 50 | \ge 6 ) \le \frac{\frac{25}{3}}{36} \approx 0.231  $$

Comments

Ja, ich habe auch schon gemerkt, dass ich Var(Y) falsch gerechnet habe.

Aber bezüglich \(P(Z\geq 56)\) ich dachte, dass es ist nicht der Aufgabe stimmt. Da die Summe zum Beispiel 55.1 sein kann, was größer als 55 ist, aber weniger 56. Deshalb sind solche Fälle nicht damit betrachtet. Oder?

Vielen Dank.

Grüß, Konstantin

---

warum Var(Xi) ist 1/12?

---

Da \( Var(X_i)= \int_{- \infty}^\infty (t-E[X_i])^2*f_{x_i}(t)dt=\int_0^1(t-\frac{1}{2})^2*1dt=\frac{1}{2} \).

---

$$  \text{Var}(X_i) = \int_0^1 \left(x- \frac{1}{2} \right)^2 dx = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} z^2 dz = \frac{1}{3} z^3 \bigg|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{12} $$

Mit der anderen Bemerkung hast Du recht, man muss \( P ( Z > 55 ) \) betrachten.

---

@Midneys: Du must noch auf 1/12 korrigieren

---

Wenn man mit \( 55 \) rechnet, kommt $$ P (Z > 55) \le \frac{1}{3} $$ raus.