Kreisbogen als Brückenbogen

Question

Aufgabe:

Bei vielen älteren und neuen Brücken sind
die Brückenbögen Kreisbögen, Konstruiere
im Maßstab 1: 400 einen solchen Brücken-
bogen mit einer Spannweite von 32 m und
einer Höhe von 8 m.

Comments

Hallo,

Ermittlung der Brückengleichung = nach unten geöffnete Parabel.

Wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunktes bei x = 0 festlegst, hast du eine Funktionsgleichung der Form

\(f(x)=ax^2+8\)

Um a zu bestimmen, setzt du die Koordinaten von einem der Nullpunkte ein.

Kommst du damit weiter?

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Bitte noch mal von vorne.
In der Aufgabe ist weder von einer Parabel noch von einer Rechnung die Rede.

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Ja, aber was spricht dagegen, es so zu machen?

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Die Tatsache, dass ein Kreisbogen verlangt wird?

blau die Parabel, orange der Kreis

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Das ist natürlich ein Argument.

Answer 1

Hallo,

erst einmal durch 400 dividieren:

32m/400=8cm

8m/400=2cm.

Du brauchst also einen Kreisbogen, der 8cm breit und 2cm hoch ist.

Nun muss der Radius des Kreises bestimmt werden.

Mit Hilfe des Satzes von Thales kann in den gesuchten Kreis ein rechtwinkliges Dreieck eingezeichnet werden mit h=8cm/2=4cm und q=2cm.

Dann ist mit dem Höhensatz

p=h^2/q=16/2 cm=8cm

Also c=p+q=10cm und da c der Durchmesser des Kreises ist: r=c/2=5cm.

Mit diesen Angaben dürfte die Konstruktion gelingen.

Waagerechte Strecke 8cm

Mittelsenkrechte

Vom Mittelpunkt nach oben 2cm, nach unten großzügig verlängern.

Einen Endpunkt der waagerechten Strecke mit dem oberen Endpunkt verbinden → Strecke a

Rechten Winkel an a im Endpunkt der waagerechten Strecke antragen.

--> Rechtwinkliges Dreieck!

Umkreis des Dreiecks konstruieren.

Ein Teilstück des Umkreises ist der gesuchte Bogen.

:-)

Comments

es geht auch einfacher:

2mal jeweils eine Länge abtragen und eine Mittelsenkrechte konstruieren ... und der gesuchte Kreisbogen liegt auf dem Kreis mit Radius \(MA\) um den Schnittpunkt \(M\) der Mittelsenkrechten zwischen \(A\) und \(B\) und enthält \(S\).

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Also einfach nur die Punkte ( 0 | 8 )
und ( 16 | 0 ) eintragen,
dann die Mittelsenkrechte dazu einzeichnen.
und die Strecke ( 0 | 8) nach ( 0 | 0 )
verlängern.

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Also einfach nur die Punkte ( 0 | 8 )
und ( 16 | 0 ) eintragen,
dann die Mittelsenkrechte dazu einzeichnen.
und die Strecke ( 0 | 8) nach ( 0 | 0 )
verlängern.

Jaaa .. so ungefähr.

eine klassische Konstruktion kennt kein Koordinatensystem.

nach Euklid: eine Gerade \(g\) zeichnen, dort die Spannweite \(AB\) mit \(|AB| = 8\,\text{cm}\) abtragen. Die Mittelsenkrechte \(m_1\) über \(AB\) konstruieren. \(m_1\) schneidet \(g\) in \(C\). Dann auf \(m_1\) die Bogenhöhe von \(2\,\text{cm}\) abtragen, so dass \(|CS|=2\,\text{cm}\) ist. Anschließend die zweite Mittelsenkrechte \(m_2\) über \(SB\) (oder \(SA\)) konstruieren. \(m_2\) schneidet \(m_1\) in \(M\). Der Kreis um \(M\) mit Radius \(|MA|\) enthält den gesuchten Kreisbogen. Der Kreisbogen ist das Stück von \(A\) bis \(B\), welches \(S\) enthält.

Und in Mengenschreibweise:$$\begin{aligned} A &\in g \\ B &\in g, \quad |AB| = 8\,\text{cm} \\ m_1 &= \{P:\space |PA| = |PB|\} \\ C &= m_1 \cap g \\ S &\in m_1, \quad |CS| = 2\,\text{cm}\\ m_2 &= \{P:\space |PS|=|PB|\} \\ M &= m_1 \cap m_2 \\ k &= \{P:\space |PM| = |MA|\} \\ k_b &=\{ P \in k:\space |PS| \le |AS|  \}\end{aligned}$$... oder so ähnlich, da habe ich nicht so viel Übung.\(k_b\) ist der gesuchte Kreisbogen.

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@Werner

es geht auch einfacher:

Ja, deine Konstruktion gefällt mir besser als meine!

@Jan

Werners Konstruktion beruht auf der Symmetrie des gleichschenkligen Dreiecks MBS.

:-)

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mein Minalvorschlag

Mein Minimalvorschlag
Die Punkte ABS eintragen
Auf den Sehnen AS und BS die Mittelsenkrechte konstruieren
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist
die Kreismitte

Answer 2

Die Skizze dürfte wie folgt aussehen

Pythagoras

r^2 = 16^2 + ( r-8)^2
r = 20 m

Answer 3

Konstruktion:

Stich mit dem Zirkel ein im Punkt (0, -12) eines Koordinatensystems.

Zeichne einen Kreis mit Radius 20.

Alles oberhalb der x-Achse ist der Brückenbogen.

Da ein Maßstab 1:400 verlangt wird, ist 1 Längeneinheit = 2,5 mm auf dem Papier und 1 m in der Realität.

Comments

Hallo,

meiner Meinung nach dürfen für eine Konstruktion nur gegebene Größen und keine berechneten verwendet werden.

r=20m ist ja berechnet worden.

:-)

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Ja klar. Darum auch mein Daumenhoch für den "Full Monty" weiter oben.

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Hallo Monty,
ein bißchen rechnen tust du aber auch.

Deine Methode war mir allerdings ein
bißchen lang um alles nachzuvollziehen.

@2CV,
Du hast aufgrund meiner genialen Vorarbeit
eine sehr einfache, schöne Konstruktions-
möglichkeit beigesteuert.

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A propos "geniale Vorarbeit": Das MoMA hat mich angerufen. Sie suchen Dich.

(Der Radius war implizit schon in meinem Kommentar an Silvia enthalten).

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Wer ist das moma ?
Museum of modern arts ?

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@Georg

ein bißchen rechnen tust du aber auch.

Ich habe zuerst gerechnet, weil ich die Frage ungenau gelesen hatte. Dann fand ich es zu schade, die Rechnung wieder zu löschen.

Bei meiner Konstruktionsbeschreibung habe ich aber keine berechneten Werte verwendet.

:-)