Wellen Differentialgleichung berechnen

Question

Aufgabe:

1.) Beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet man gerne komplexwertige Größen. Wie müssen die Konstanten \( c_{1}, c_{2} \in \mathbb{C} \) gewählt werden, damit$$ c_{1} e^{i \omega t}+c_{2} e^{-i \omega t}=a \cos (\omega t)+b \sin (\omega t) $$wobei \( a, b, \omega \in \mathbb{R} . \)

2.) Die Ausbreitung von Wellen im dreidimensionalen Raum wird durch die Differentialgleichung$$ \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\Delta u=0 $$beschrieben, wobei \( c \) die Phasengeschwindigkeit der Welle ist und \( \triangle:=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}} \) der LaplaceOperator. Zeigen Sie, dass$$ u(t, \vec{x})=A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{x}-\omega t)} $$mit \( \omega=c|\vec{k}| \) eine Lösung der Wellengleichung ist. Hierin ist \( \vec{k} \) der Wellenzahlvektor und \( \omega \) die Kreisfrequenz der Welle. Das Euklidische Skalarprodukt \( \vec{k} \cdot \vec{x} \) ist durch$$ \vec{k} \cdot \vec{x}:=k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}+k_{3} x_{3} $$definiert. Die in ( 1 ) angegebene Lösung ist ein Spezialfall einer sogenannten ebenen Welle. Was ist daran eben?(Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_Welle.)3

3.) Betrachten Sie nun die durch$$ w(\vec{r}, t)=\frac{A \cdot e^{i(k r-\omega t)}}{r} $$definierte Welle, wobei \( k, \omega \in \mathbb{R} \) und \( r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \). Wie sehen die Wellenfronten (Punkte gleicher Phase) dieser Welle aus?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu 1) Mit \(c_1=x_1+iy_1\) und \(c_2=x_2+iy_2\) multiplizieren wir den Ausdruck aus:$$c_1e^{i\omega t}+c_2e^{-i\omega t}=(x_1+iy_1)(\cos\omega t+i\sin\omega t)+(x_2+iy_2)(\cos\omega t-i\sin\omega t)$$$$\quad=x_1\cos\omega t+iy_1\cos\omega t+ix_1\sin\omega t-y_1\sin\omega t$$$$\quad+\;x_2\cos\omega t+iy_2\cos\omega t-ix_2\sin\omega t+y_2\sin\omega t$$$$\quad=(x_1+x_2)\cos\omega t+i\underbrace{(y_1+y_2)}_{\stackrel!=0}\cos\omega t+i\underbrace{(x_1-x_2)}_{\stackrel!=0}\sin\omega t+(y_2-y_1)\sin\omega t$$Da die Lösung rein reell sein soll, müssen alle imaginären Anteile verschwinden. Das heißt, es muss \(x_2=x_1\) gelten und \(y_2=-y_1\). Das heißt, die beiden komplexen Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) müssen zueinander komplex konjugiert sein: \(\boxed{c_2=c_1^\ast}\).

Speziell mit der Wahl \(c_1=\frac a2-i\frac b2\) und \(c_2=c_1^\ast=\frac a2+i\frac b2\) lautet die reelle Lösung:$$c_1e^{i\omega t}+c_2e^{-i\omega t}=a\cos\omega t+b\sin\omega t$$

zu 2) Hier brauchst du nur die Lösung \(u(t;\vec x)=Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}\) abzuleiten:$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}\right)=\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(-i\omega Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}\right)=\frac{1}{c^2}\left(i^2\omega^2 Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}\right)$$$$\phantom{\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}}=-\frac{\omega^2}{c^2}Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}=-\frac{c^2k^2}{c^2}u(t;\vec x)=-k^2u(t;\vec x)$$$$\Delta u=\operatorname{div}\operatorname{grad}\left(Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}\right)=\operatorname{div}\left(i\vec kAe^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}\right)$$$$\phantom{\Delta u}=(i\vec k_x)^2Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}+(i\vec k_y)^2Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}+(i\vec k_z)^2Ae^{i(\vec k\cdot\vec x-\omega t)}=-k^2u(t;\vec x)$$Offensichtlich sind beide Ableitungen gleich, sodass die Lösung die Wellengleichung erfüllt.

Die Phase ist gleich, wenn \(\vec k\cdot\vec r=0\) ist. Dann steht \(vec r\) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung \(\vec k\) der Welle, Daher schwingt die Welle in einer Ebene senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung.

zu 3) Die Wellengleichung hängt bei$$w(\vec r;t)=\frac{A\cdot e^{i(kr-\omega t)}}{r}$$nur noch vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) ab. Die Ebenen gleicher Phase sind daher Kugelflächen. Es handelt sich also um eine Welle, die sich kugelförmig im Raum ausbreitet.

Um ebene Wellen besser zu verstehen, empfehle ich dir folgendes Video