Zeigen: f(x+y)=f(x)+f(y) ⇔ f(x)= ax

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass
\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) genau dann gilt, wenn es ein \( a \in \mathbb{R} \) gibt, sodass
\(f(x)=a x, \quad x \in \mathbb{R} .\)

ich bedanke mich für die Hilfe!

Answer 1

Sei f(1)=a .

Dann gilt f(2)=f(1)+f(1)=a+a=2a also f(2)=2a.

Entsprechend (mit vollst. Induktion) f(n)=n*a für alle n∈ℕ.

und auch f(0)=0*a=0 weil z.B.   a = f(1) = f(1+0) = f(1)+f(0) = a+f(0).

Dann auch für alle n∈ℕ     0 = f(0) = f(n+(-n)) = f(n) + f(-n)

                     ==>   f(-n) = -f(n)

Somit f(n)=a*n für alle n∈ℤ.

Jetzt mal f(1/n) versuchen.   a = f(1)= f(n*1/n ) = f(   (1/n) + (1/n) + .... + (1/n) )

                                          = f(1/n) + f(1/n) +.... f(1/n)   = n * f( 1/n )

==>    a = n * f(1/n) ==>    f(1/n) = a/n = a* (1/n)

Hier stimmt es also auch und so kann man es auf Q ausdehnen:

Für alle f(m/n) = a* (m/n)

Da jede reelle Zahle Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen ist,

hat man es wegen der Stetigkeit für alle x ∈ ℝ.

Comments

Vielen Dank!