n-fach stetig differenzierbare Funktion f(x):=-2x^2 + ax, falls x<0 und f(x):= ln(ax+1), falls x≥0.

Question

Aufgabe:

Sei \(a\in\mathbb{R}\) und

\(f(x)=\begin{cases} -2x^2+ax & \text{falls } x \lt 0 \\ \ln(ax+1)& \text{falls } x \geq 0 \end{cases} \).

Was ist das größte \(n\in\mathbb{N}_0\), sodass \(f\) in \(x=0\) \(n\)-mal stetig differenzierbar ist?

Ansatz:

Also angenommen, dass die Funktionen stetig sind auf ihrem Definitionsbereich und dann die Stetigkeit der ganzen Abschnittfunktion geprüft, indem ich die nach oben und nach unten Grenzwerten beiden Funktion gemacht habe. Schließlich habe ich gemerkt, dass sie gleich zueinander sind, daraus folgt die Abschnittfunktion ist stetig auf ganzen ℝ.

Ist das bisher richtig?

Dann für die Ableitungen habe ich so gerechnet:

Erste Ableitung der beiden Funktionen gemacht und den Grenzwerten gerechnet. Die Grenzwerten sind gleich, also kann man sagen dass die Abschnittfunktion 1 mal stetig differenzierbar ist.

Ist das richtig?

Ich bin interessiert an dem Verfahren, damit diese Arten von Aufgaben sich lösen lassen.

Comments

Schildere detn Probleme genauer als mit ein paar, hast du die 2 Teilfunktionen ein paarmal abgeleitet und das bei 0 angesehen?

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Mein Problem ist genau, dass ich ein verfahren für die obigen Aufgabe nicht kenne. D.h ich verstehe nicht was heißt der grösste n zu finden.

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Und ich wollte gerne wissen welche von den 2 Funktionen ich ableiten muss. Welche soll ich wählen und warum. Vielen dank

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1. Frage: Was bezweckt dieser Vorspann:

Er erscheint irgendwie überflüssig.

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2. Frage: Warum wird dieser Hinweis benötigt?

Die Aufgabe besteht darin, die Funktion an der Stelle x=0 zu untersuchen. Was die Funktion sonst noch macht, ist doch eigentlich egal, oder?

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3. Anmerkung:

Offenbar soll hiermit die Stetigkeit von f an x=0 begründet werden. Dazu sollte $$\lim\limits_{\:\:\:x\to 0}{f\left(x\right)}=\lim\limits_{\:\:\:x\to 0}{\left(-2x^2+ax\right)}=\lim\limits_{\:\:\:x\to 0}{\left(\ln\left(ax+1\right)\right)}=0=f(0)$$genügen. Es müssen also nur zwei Limiten berechnet werden, die Unterscheidung in Rechts- und Linkslimiten ist überflüssig und insgesamt muss die Aussage auch auf den Punkt gebracht werden.

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Hallo Gast az,

Die "Hinweis" habe ich geschrieben weil, ich dachte dass es war benötigt um die Stetigkeit nur in x=0 zu prufen.

Ist meine Prüfung (mit linkseitige und rechtseitige Limes) der Stetigkeit anpassend?

was soll ich dann machen?

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Laut Aufgabenstellung geht es nur um die Eigenschaften der Funktion f an der Stelle x=0. Über Eigenschaften von f an anderen Stellen müssen keine Aussagen gemacht werden.

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Vielen Dank für die nähere Bestimmung!

Answer 1

Hallo

1. an der Stelle 0 stimmen die 2 Funktionen überein, also sind sie stetig.

2. man bildet die erste Ableitung und überprüft wieder ob sie links und rechts überein stimmt.

dann die 2 te. Ableitung bei 0,  die linke Seite ergibt -a^2, die rechte -4

 also sind sie nur gleich für a=2

 jetzt dritte Ableitung bilden nur noch mit a=2

Gruß lul