Aloha :)
Es müssen alle drei Bedingungen erfüllt sein, damit eine Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\) stetig ist.
1) Die Funktion muss an der Stelle \(x_0\) überhaupt erstmal definiert sein, das heißt es muss einen Funktionsert \(f(x_0)\) geben.
2) Alle Wege, auf denen du dich diesem Wert \(x_0\) nähern kannst, müssen zum gleichen Grenzwert führen. In einer Dimension gibt es nur 2 Wege. Du kannst dich dem Wert \(x_0\) von links nähern, also von dort wo \(x<x_0\) ist. Du kannst dich dem Wert \(x_0\) aber auch von rechts nähern, also von dort wor \(x>x_0\) gilt. Beide Grenzwerte müssen gleich sein.
3) Die beiden Grenzwerte aus (2) müssen nicht nur gleich sein, sie müssen auch mit dem Funktionswert \(f(x_0)\) aus (1) übereinstimmen.
Hier mal ein paar Beispiele:
$$f_1(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\x+1 & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Die Funktion ist an der Stelle \(x_0=0\) nicht stetig, weil es keinen Funktionswert \(f(x_0)\) gibt. Forderung (1) ist also verletzt.
$$f_2(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\0 & \text{für }x=0\\x+1 & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Die Funktion ist an der Stelle \(x_0=0\) nicht stetig. Nun ist zwar die Funktion bei \(x_0=0\) definiert mit \(f(0)=0\). Aber der linksseitige Grenzwert, also von \(x<0\) kommend, ist \(1\). Der Funktionswert stimmt also nicht mit dem linksseitigen Grenzwert überein. Forderung (3) ist verletzt.
$$f_3(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\1 & \text{für }x=0\\x & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Die Funktion ist nicht stetig bei \(x_0=0\). Der Funktionswert exisitiert und ist \(f(0)=1\). Der rechtsseitige Grenzwert ist \(1\), aber der linksseitge Grenzwert ist \(0\).
$$f_4(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2-2x+1 &\text{für }x>0\\1 & \text{für }x=0\\x+1 & \text{für } x<0\end{array}\right.$$Hier stimmt nun alles, die Funktion ist stetig bei \(x_0=0\).
