Bestimmen Sie in welchen Punkten die Funktion f stetig ist.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie in welchen Punkten die Funktion f stetig ist.
Hinweis: Die Fallunterscheidung betrifft nicht nur einen Punkt , sondern die Gerade y = x.

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{ll}(x+2 y) \arctan \left(\frac{x+y}{x-y}\right) & \text { falls } x \neq y \\ 0 & \text { falls } x=y\end{array}\right. \)

Answer 1

Der Bruch \( \frac{x+y}{x-y} \) geht , wenn x gegen y und damit x-y gegen 0 geht, gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich (je nach Vorzeichen der Differenz x-y).

Der Tangens geht bei Annäherung an x=pi/2 auch gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich, ebenso bei Annäherung an x=-pi/2.

Der Arctan von \( \frac{x+y}{x-y} \) geht also gegen plus oder minus pi/2, jedenfalls nicht gegen 0.

Den Punkt (0|0) müsstest du mal gesondert untersuchen.

Answer 2

Hallo

für x≠y ist das eine Zusammensetzung von stetigen Funktionen also nichts zu zeigen, nur für x-y=0 musst du den GW berechnen also  x->y  der arctan geht für argument gegen oo gegen pi/2 ist also endlich, wenn du ihn mit x=y=0 multiplizierst gibt das 0 aber nicht wenn du etwa mit x=y= 3 0der einen anderen endlichen Wert multiplizierst,

Gruß lul