In welchen Punkten ist die Funktion stetig und in welchen nicht?

Question

Aufgabe: In welchen Punkten ist die Funktion stetig und in welchen nicht ?

Problem/Ansatz:

ich sitze grade schon länger an einer Aufgabe aber komme einfach nicht weiter bzw. ich weiß auch nicht ob mein Ansatz richtig ist.

Die Aufgabe lautet In welchen Punkten a ∈ℝ ist die Funktion f : ℝ→ℝ stetig und in welchen nicht ? Und meine Antwort soll ich auch begründen.

Text erkannt:

(b) \( f(x):=\left\{\begin{array}{ll}x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right. \)

Also meine Überlegung war,dass die Funktion überall und auch bei null stetig ist. Mein Problem ist,ich weiß erstens nicht ob es richtig ist und wie ich es zeigen/berechnen kann.

Answer 1

Deine Überlegung stimmt. Für x≠0 folgt das aus den

gängigen Sätzen: Stetigkeit der sin-Funktion, Stetigkeit bei

Verkettung etc. .

Für x=0 hast du für jede Folge x_n die keine

0en als Folgenglieder hat und gegen 0 geht:

Die Folge  der Funktionswerte ist ein Produkt aus einer

Nullfolge ( x_n ) und einer beschränkten Folge sin( 1/x_n ).

Wenn xn doch Folgenglieder vom Wert 0 hat, sind bei

der Folge der Funktionswerte noch einige 0en dabei,

was nicht daran ändert, dass sie auch gegen 0 geht.