In welchen Punkten x∈[0, 1] ist diese Funktion stetig?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f:[0, 1]-->ℝ  f(x):=x, falls x∈[0,1]∩ℚ bzw. 0 falls x∈[0, 1]∩ℝ\ℚ

Aufgabe: Bestimmens Sie alle Punkte in denen die Funktion stetig ist.

Problem/Ansatz:

Als Tipp ist gegeben, dass sowohl ℚ, als auch ℝ\ℚdicht sind. Also dass es für alle r∈ℝ, für alle ε∈ℝ>0 ein x∈[0, 1]∩ℚ bzw. ∩ℝ\ℚ gibt, so dass |r-x|<ε gilt.

Daher meine Vermutung, dass ich hier das ε-δ-Kriterium benutzen muss. Ich habe aber keine Idee, wie ich diesen Beweis führen soll.

Answer 1

Wir zeigen f ist nur in $x=0$ stetig.
Sei $\epsilon>0$, dann gilt für  $\delta :=\epsilon /2$ und alle  $y \in [0,\delta)$
$|f(0)-f(y)|=|f(y)|< \epsilon$.
Denn ist  $y \in \mathbb Q$, so ist 
$|f(y)|=|y|=y<\epsilon /2<\epsilon$.
Ist  $y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$, dann
$|f(y)|=0<\epsilon$. qed.

Sei $x_0 \in [0,1]$ weiterer Punkt, wo f stetig ist.
Wegen der Dichtheit finden wir Folge $(q_n)_n$ in $\mathbb Q \cap [0,1]$ mit 
$q_n \to x_0$.
Analog gibt es eine Folge $(c_n)_n$ in  $[0,1] \cap\mathbb R \setminus \mathbb Q$  mit
$c_n \to x_0$.
Da f insbesondere folgenstetig in $x_0$ ist, gilt :
$x_0=\lim q_n= \lim f(q_n) = f( \lim q_n)=f(x_0)= f(\lim c_n)=\lim f(c_n)=0$
$\therefore 0$ ist der einzige Punkt wo f stetig.

Comments

Warum gilt $\large\vert f(x)-f(y)\vert=1$ ?

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Ach, tut mir leid, dachte f wär die Dirichlet Funktion. Werde zeitnah antwort verändern, sorry>_<

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Okay, jetzt aber bezieht sich mein Antwort auf die Frage :)