Bestimmen Sie die quadratische Funktionsgleichung

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie jeweils die Funktionsgleichung, wenn das möglich ist.

a)

Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt P(3|5) und hat den Extrempunkt E(5|10). Der Grad ist 2.

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier jetzt genau vorgehen bzw. könnte einer mir die genauen Schritte schildern, damit ich zur Lösung komme.

Vielen Dank

Answer 1

Du hast hier gegeben, dass es sich um eine Funktion 2.Grades handelt.

Das bedeutet, dass du insgesamt 3 Bedingungen (immer +1 auf den Grad = Anzahl benötigter Bed.) brauchst, um hier eine LGS aufstellen zu können und so an die benötigten Parameter zu kommen.

Die allgemeine Form einer Funktion 2. Grades sieht so aus:

ax²+ bx + c

Nun kannst du 3 Gleichungen aufstellen, indem du die zwei Punkte einsetzt. Für die dritte Bedingung brauchst du die Ableitung, denn du weisst, dass bei x= 5 ein Extrema ist. Das bedeutet, dass die Ableitung an der Stelle x = 5 also Null sein muss.

Nun solltest du drei Gleichungen haben und musst jetzt versuchen ein Parameter zu eliminieren, um dann jeweils den 2 eliminieren zu können, sodass du am Ende einen ausrechnen kannst.

Dann einfach den 2ten Parameter durch Einsetzen des gelösten herausfinden sowie den 3ten.

Answer 2

Eigenschaften

f(3) = 5
f(5) = 10
f'(5) = 0

Gleichungssystem

9a + 3b + c = 5
25a + 5b + c = 10
10a + b = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -1,25·x² + 12,5·x - 21,25

Benutze für ähnliche Aufgaben zur Hilfe und Selbstkontrolle

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Answer 3

"Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt P(3|5) und hat den Extrempunkt E(5|10). Der Grad ist 2."

Ich verschiebe den Graphen um 10 Einheiten nach unten: E´(5|0)     P´(3|-5)

f(x)=a*(x-5)^2

f(3)=a*(3-5)^2=4a

4a=-5    a=-\( \frac{5}{4} \)

f(x)=-\( \frac{5}{4} \)*(x-5)^2

Nun 10 Einheiten nach oben verschieben:

p(x)=-\( \frac{5}{4} \)*(x-5)^2+10

Answer 4

Hallo,

da der Scheitelpunkt E(5|10) gegeben ist, bietet sich die Scheitelpunkt-Form an.

f(x)=a(x-5)^2+10

Nun noch P(3|5) einsetzen, um a zu bestimmen.

5=a(3-5)^2+10

-5=4a

a=-1,25

f(x)=-1,25(x-5)^2+10

Bei Bedarf noch ausmultiplizieren.

:-)