Hyperbelfunktion Additionstheorem in C

Question

Aufgabe:

Seien sinh und cosh die Hyperfunktion mit

sinh: ℂ->ℂ sowie cosh: ℂ->ℂ.

Additionstheoreme

sinh(w+z)= sinh w cosh z + cosh w sinh z

Mit w,z ∈ℂ

Problem/Ansatz:

Wären w,z∈ℝ habe ich dies bewiesen aber mit z=x+iy und w=u+iv habe ich Schwierigkeiten…

Comments

Der Beweis für komplexe Zahlen geht genauso, er beruht schließlich nur auf der Definiton der Hyperbelfunktionen mit Hilfe der Exponentialfunktion.

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Für z setze ich doch dann x+in ein oder nicht ?  Dann bekomme ich doch für zum Beispiel

cosh(x)= cosh(x)*cos(y)+ isinh(x)*sin(y)

Ich bekomme doch eine total lange Rechnung raus ?

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Das ist nicht nötig, Du kannst doch auch im Komplexen mit

$$\cosh(z)=0.5(\exp(z)+\exp(-z))$$

arbeiten.

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Und sinh (z)= 0,5 (e^z - e^-z ) ?

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cosh(w+z)= cosh w cosh z + sinh w sinh z

= 0,5 *( e^w + e^-w )(e^z + e^-z )+ 0,5*(e^w -e^-w )(e^z -e^-z)

= 0,25 ( e^w e^z + e^w e^-z + e^-w e^z + e^-w e^-z ) +

(e^w e^z - e^w e^-z - e^-w e^z + e^-w e^-z )

=0,25 (2* (e^w e^z) + 2* (e^-w e^-z ))

=0,25 *2 ( e^w+z + e^-(w+z) )

=0,5( e^w+z + e^-(w+z) )

So ?

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Ja, genau so wie im Reellen