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Die zweite Ableitung hast du richtig bestimmt:$$f''(x)=e^{2x}\left(4\ln(2x)+\frac4x-\frac{1}{x^2}\right)$$Zum Nachweis eines Wendepunktes bei \(x_0\in(0|\frac12]\) muss die zweite Ableitung der Funktion in diesem Bereich eine Nullstelle haben. Wegen$$f''\left(\frac14\right)=e^{\frac12}\left(4\ln\left(\frac12\right)+\frac{4}{\frac14}-\frac{1}{\frac{1}{16}}\right)=-4\sqrt e\ln(2)<0$$$$f''\left(\frac12\right)=e^{1}\left(4\ln\left(1\right)+\frac{4}{\frac12}-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)=4e>0$$und der Stetigkeit von \(f''(x)\) nimmt die zweite Ableitung im Intervall \(\frac14\le x\le\frac12\) jeden Wert zwischen \(-4\sqrt e\ln2\) und \(4e\) an (Zwischenwertsatz). Insbesondere gibt es daher ein \(x_0\in(\frac14|\frac12)\) für das gilt \(f''(x_0)=0\). Zusätzlich wechselt die zweite Ableitung an dieser Stelle \(x_0\) ihr Vorzeichen, sodass dort tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.
Die Funktion \(f(x)\) besitzt also im Intervall \((\frac14|\frac12)\) tatsächlich einen Wendepunkt.
~plot~ e^(2x)*ln(2x) ; {0,296|-0,948} ; [[0|0,8|-3|2]] ~plot~
