Wendepunkt der Funktion f(x)=e^(2x)*ln(2x)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Funktion f(x) = e^2x · ln(2x) im Bereich 0≤x≤0,5 einen Wendepunkt besitzt.

(Teilergebnis: f'(x) = e^2x · (2 · ln(2x) + 1/x)

Probem/Ansatz:

Die zweite Ableitung konnte ich (hoffentlich korrekt) aufstellen:

f''(x) = e^2x · (4 · ln(2x) + \( \frac{4x - 1}{x²} \) )

Aber ab 0 = 4 · ln(2x) + \( \frac{4x - 1}{x²} \)  bin ich mit meinem Latein am Ende.

Comments

der Hinweis liegt in der Ungleichung 0<x<=0.5 Stichwort vorzeichenwechsel

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die zweite Ableitung hast du richtig bestimmt:$$f''(x)=e^{2x}\left(4\ln(2x)+\frac4x-\frac{1}{x^2}\right)$$Zum Nachweis eines Wendepunktes bei \(x_0\in(0|\frac12]\) muss die zweite Ableitung der Funktion in diesem Bereich eine Nullstelle haben. Wegen$$f''\left(\frac14\right)=e^{\frac12}\left(4\ln\left(\frac12\right)+\frac{4}{\frac14}-\frac{1}{\frac{1}{16}}\right)=-4\sqrt e\ln(2)<0$$$$f''\left(\frac12\right)=e^{1}\left(4\ln\left(1\right)+\frac{4}{\frac12}-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)=4e>0$$und der Stetigkeit von \(f''(x)\) nimmt die zweite Ableitung im Intervall \(\frac14\le x\le\frac12\) jeden Wert zwischen \(-4\sqrt e\ln2\) und \(4e\) an (Zwischenwertsatz). Insbesondere gibt es daher ein \(x_0\in(\frac14|\frac12)\) für das gilt \(f''(x_0)=0\). Zusätzlich wechselt die zweite Ableitung an dieser Stelle \(x_0\) ihr Vorzeichen, sodass dort tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.

Die Funktion \(f(x)\) besitzt also im Intervall \((\frac14|\frac12)\) tatsächlich einen Wendepunkt.

~plot~ e^(2x)*ln(2x) ; {0,296|-0,948} ; [[0|0,8|-3|2]]  ~plot~

Comments

Nicht die Funktion muss eine Nullstelle haben, sondern deren zweite Ableitung.

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Danke dir, habe es korrigiert.

Answer 2

oder näherungsweise (z.B. Newtonverfahren) gibt ca. x=0,296.