Untersuchen sie Folge auf Konvergenz und bestimmen sie die Grenzwerte

Question

Aufgabe: Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz + bestimmen sie ihre Grenzwerte:

a) an = √n / n

Ansatz: ich hab für n verschiedene Zahlen eingesetzt 1,10,100,1000 und sehe das die Zahl immer kleiner wird gegen 0, also ist der Grenzwert = 0. Reicht das für die Bestimmung des Grenzwerts oder gibt es da eine andere Methode? Und wie kann ich hier die Konvergenz bestimmen? Aus der Vorlesung verstehe ich nichts:(

Comments

Kürz einfach den Aal. Wurzel n / n ist ja 1/Wurzel n und das geht gegen 0

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Macht Sinn aber wie ist √n / n = 1/ √n , das steht auch in der Musterlösung leider verstehe ich das nicht

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Sind einfach Potenzgesetze. Wichtig und richtig.

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√n / n = n^(1/2)/n^1 = n^(1/2-1) = n^(-1/2) = 1/n^(1/2) = 1/√n

Answer 1

Sei \(\epsilon>0\). Dann gibt es eine natürliche Zehl \(N>\epsilon^{-2}\).

Für alle nat. Zahlen \(n\geq N\)

gilt dann \(\sqrt{n} \gt \epsilon^{-1}\Rightarrow \frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}\lt \epsilon\).

Answer 2

Mit I 'Hospital:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}}{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{n}}}{1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}}=0 \)

Answer 3

√n/ n = n^(1/2)/n = 1/n^(1/2) = 1/√n

Das geht gegen Null für n gegen oo.

Comments

Könntest du mir den ausführlichen Konvergenz beweis zeigen mit Erklärung blicke da absolut nicht durch