Folge auf Konvergenz/Divergenz untersuchen

Question

Ich möchte diese Folge auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen und weiß nicht weiter..:

((-1)ⁿ⁺¹*(n+1)³+(-1)ⁿ*n³)/n³   mit n größer/gleich 1.

Ich habe versucht, die Folge so umzustellen, dass ich n³ kürzen kann, aber irgendwie haut es nicht so richtig hin, ich habe ein totales Brett vor dem Kopf..

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Comments

"Der grösste Teil der Schwierigkeiten, mit denen gewöhnlich die Jünger der mathematischen Wissenschaft bei der Erlernung der Analysis des Unendlichen zu kämpfen haben, hat nach meiner Erfahrung darin seinen Grund, dass man sich bereits an jene höhere Kunst heranwagt, bevor man noch recht die niedere Algebra sich angeeignet hat."

Das ist von Euler. Er meint, bevor Du Analysis machen kannst, muessen so Sachen wie Kuerzen einfach sitzen.

Answer 1

Hallo Gast ij1611,

ich habe gerade keine komplette Antwort aber ich glaube einen vielversprechenden Ansatz. \( \)

\[ a_n = \frac{ (-1)^{n+1}(n+1)^3 + (-1)^n n^3}{n^3} \]

\[ a_n = \frac{ (-1)^{n+1}(n+1)^3}{n^3}+ \frac{(-1)^n n^3}{n^3} \]

\[ a_n =(-1)^{n+1}  \frac{ (n+1)^3}{n^3}+(-1)^n \]

Für \( n \) gerade gilt

\(  \lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1}  \frac{ (n+1)^3}{n^3}= -1 \)

\(  (-1)^n= 1 \)

Für \( n \) ungerade gilt

\(  \lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1}  \frac{ (n+1)^3}{n^3}= 1 \)

\(  (-1)^n= -1 \)

Das bedeutet die Folge geht alternierend gegen 0. Was das für die Reihe(Summe) bedeutet müsste man noch prüfen, aber damit sollte auch da eine Konvergenz zu beweisen sein.

Gruß