Folge auf Divergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Die Folge a_n= 4ⁿ * 5 ^-n-1, n ∈ N ist divergent

Stimmt diese Aussage?

Problem/Ansatz:

Die Folge ist divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Konvergenz von Folgen untersuchen wir ja mit dem Grenzwert von Folgen. Besitzen sie einen Grenzwert, dann sind sie konvergent, wenn nicht, dann divergent.

Demnach soll ich ja herausfinden, ob diese Folge einen Grenzwert besitzt...

Dafür müsste ich den Limes betrachten - ich würde sagen, dass 4 hoch n gegen unendlich strebt (da mit höher werdendem n auch die Zahl immer größer wird). Bei 5 hoch -n-1 wird es ja immer kleiner - also strebt es gegen 0, oder? Also strebt die Folge gegen 0?

Comments

4^n*5^(-n-1)= 1/5* (4/5)^n

(4/5)^n strebt gegen Null. Der Bruch wird immer kleiner.

Answer 1

Dafür müsste ich den Limes betrachten - ich würde sagen, dass 4 hoch n gegen unendlich strebt (da mit höher werdendem n auch die Zahl immer größer wird). Bei 5 hoch -n-1 wird es ja immer kleiner - also strebt es gegen 0, oder? Also strebt die Folge gegen 0?

Heuristisch formuliert geht das in die richtige Richtung. Jetzt musst du es noch formal begründen, also beweisen.

Comments

genau das bereitet mir große Probleme - könnten Sie mir einen Ansatz geben bzw. helfen?

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Entweder du rechnest die Definition zur Konvergenz nach oder du kannst versuchen, eine weitere Nullfolge \(b_n\) zu finden, die ab einem gewissem \(n\in \mathbb{N}\) eine obere Schranke von \(a_n\) ist. Außerdem ist deine Folge \(a_n\) stets nicht negativ, d.h. du kannst \(c_n:=0\) als unteres Schranke von \(a_n\) angeben. Insgesamt hast du also die Abschätzungen \(0=c_n\leq a_n\leq b_n\), wobei nun ein passendes \(b_n\) finden musst.