1.$$\frac { { i }^{ n } }{ n+1 }$$
2.$$\cfrac { { (n+1 })^{ 2 }+{ in } }{ { 3n }+{ 2in }^{ 2 } }$$
3.$$ \left( \frac { 1+i }{ \sqrt { 2 } } \right) ^{ n }$$
Diese Folgen sind auf Konvergenz und Divergenz zu untersuchen, sowie der Grenzwert (falls vorhanden) in der Form a + bi anzugeben. a, b sind Elemente der reellen Zahlen, i ist die imaginäre Einheit.
Ich habe bei der 1 und 2 ein bisschen was versucht, aber keine Ahnung, ob ich das richtig gemacht habe.
Zu 1.
$$lim |\frac { { i }^{ n } }{ n+1 } | = lim \frac { 1 }{ n+1 } = 0 = 0+0i $$
Zu 2. $$\cfrac { { (n+1 })^{ 2 }+{ in } }{ { 3n }+{ 2in }^{ 2 } } = \cfrac { n^{ 2 }+2n+1+{ in } }{ { 3n }+{ 2in }^{ 2 } } = \cfrac { 1+\frac { 2 }{ n } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { i }{ n } }{ { \frac { 3 }{ n } }+2i } $$
$$lim \cfrac { 1+\frac { 2 }{ n } +\frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { i }{ n } }{ { \frac { 3 }{ n } }+2i } = \frac { 1 }{ 2i } = 0 + \frac { 1 }{ 2 } { i }^{ -1 } $$
Zu 3.
Habe ich bisher nur nach $$ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n }{ \left( n+1 \right) }^{ n } $$ umgeformt. In Wolframalpha habe ich gesehen, dass der Graph ähnlich wie eine Sinuskurve verläuft und demnach divergieren würde. Allerdings wüsste ich nicht, wie ich das begründen soll.Ich wäre über Verbesserungsvorschläge und Erklärungsversuche jeder Art wirklich sehr glücklich.
