Aloha :)
Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element aus der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.
zu a)\(\quad f_1\colon\mathbb R\to\mathbb R^+\,\colon\,f_1(x)=x^2+1\)
Wegen \(f(-1)=2\) und \(f(1)=2\) wird das Ziel \(2\) mehr als 1-mal getroffen.
Die Funktion ist also nicht injektiv.
zu c)\(\quad f_3\colon\mathbb C\setminus\{1\}\to\mathbb C\,\colon\,f_3(z)=\frac{z}{2z-2}\)
Wir formen die Funktionsgleichung zuerst etwas um:$$f_3(z)=\frac{z}{2z-2}=\frac{(z-1)+1}{2z-2}=\frac{z-1}{2z-2}+\frac{1}{2z-2}=\frac12+\frac{1}{2(z-1)}$$und nehmen nun an, dass es zwei Argumente \(z_1\) und \(z_2\) aus der Defintionsmenge gibt, die dasselbe Ziel haben:$$f_3(z_1)=f_3(z_2)\implies\frac12+\frac{1}{2(z_1-1)}=\frac12+\frac{1}{2(z_2-1)}\implies\frac{1}{2(z_1-1)}=\frac{1}{2(z_2-1)}$$$$\phantom{f_3(z_1)=f_3(z_2)}\implies\frac{1}{z_1-1}=\frac{1}{z_2-1}\implies z_1-1=z_2-1\implies z_1=z_2$$Das heißt im Umkehrschluss: \(z_1\ne z_2\implies f_3(z_1)\ne f_3(z_2)\).
Verschiedene Argumente haben also stets verschiedene Ziele, die Funktion ist injektiv.
zu b)\(\quad f_2\colon\mathbb C\to\mathbb C\,\colon\,f_2(z)=z+\overline z\)
Auch hier schreiben wir den Funktionsterm kurz um, indem wir \(z=x+iy\) in den Real- und Imaginärteil zerlegen:$$f_2(z)=(x+iy)+\overline{(x+iy)}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\,\operatorname{Re}(z)$$Damit ist klar, dass zum Beispiel \(f(i)=0\) und \(f(-i)=0\) gilt. Die Null aus der Zielmenge wird also mehr als 1-mal getroffen. Die Funktion ist daher nicht injektiv.
