Aufgabe:
Betrachte das Iterationsverfahren
\( x_{k+1}=\phi\left(x_{k}\right), \)
mit der Abbildung \( \phi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \)
\( \phi(x)=C x+d \)
und einem Startwert \( x_{0} \in \mathbb{R}^{n} \), wobei \( d \in \mathbb{R}^{n} \) und \( C \in \mathbb{R}^{n \times n} \) mit \( L:=\|C\|<1 \).
a) Zeigen Sie für \( k \in \mathbb{N}_{0} \)
\( \left\|x_{k+1}-x_{k}\right\| \leq L^{k}\left\|x_{1}-x_{0}\right\|, \)
für verträgliche Matrix- und Vektornormen.
b) Sei \( x^{*}:=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} x_{k} . \) Begründen Sie, warum der Grenzwert \( x^{*} \) existiert und zeigen Sie weiter
\( \left|x_{k}-x^{*}\right| \leq \frac{L^{k}}{1-L}\left\|x_{1}-x_{0}\right\| . \)
c) Sei
\( C=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{4} \end{array}\right), \quad d=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad x_{0}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \)
Wie viele Iterationen benötigt man, damit der Fehler auf jeden Fall kleiner ist als \( \varepsilon:=0.001 \), also damit gilt
\( \left\|x_{k}-x^{*}\right\|_{2}<\varepsilon ? \)
Problem/Ansatz:
a.) und b.) habe ich bereits gemacht und kann man leicht mit dem Banachscher Fixpunktsatz zeigen/beweisen.
Aber wie funktioniert c.)? Wie kann man davon die Anzahl der benötigten Iterationen bestimmen?
Hier ist ein altes Skript, wo man den Banachschen Fixpunktsatz, sowie eine Idee zu c.) nachlesen kann:
https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.070/ss17/AngewandteNumerik1/Skript/AngNumerik1-2017_0421.pdf
Satz 5.6.1 (Banach’scher Fixpunktsatz) ist auf Seite 83 und die Bemerkung 5.6.2 b.) kann wahrscheinlich weiterhelfen, wie das Beispiel 5.6.5 .
Leider weiß ich noch nicht, wie ich das umsetzen soll :/
