Sei V n-dimensional, dann haben alle Basen n Elemente. Seien also
A=\( (u_1 , \dots , u_n) \) , A=\( (v_1 , \dots , v_n) \), A=\( (w_1 , \dots , w_n) \)
Die drei Basen, und wenn man zeigen
kann, dass für jeden Vektor v mit den Koordinaten a= (a1, ... ,an ) ∈ K^n gilt
\( T^A_C \cdot a = T^B_C \cdot T^A_B \cdot a \)
Dann ist die Gleichheit ja gezeigt.
Zu den Matrizen gehören lin. Abb'en, etwa
f zu \( T^B_C \) und g zu \( T^A_B \)
Dann ergibt \( T^A_B \cdot a \) die Koordinaten, mit
denen f(v) mit der Basis B dargestellt wird
f(v) = b1 * v1 + ... bn * vn.
Wenn man nun den Spaltenvektor (b1,...,bn)^T nimmt
und rechnet \( T^A_B \cdot (b_1,\dots,b_n)^T \)
Dann erhält man die Koordinaten, mit denen g(f(v)) mit
der Basis C dargestellt wird.
Nun entspricht aber das Produkt der Matrizen der
Hintereinanderausführung der Abbildungen, also
liefert \( T^A_C \cdot a \) das gleiche Ergebnis.
