Nun, die gesuchten Vektoren müssen sich als Linearkombinationen der Vektoren beider Erzeugendensysteme darstellen lassen. Es sind also diejenigen Vektoren x zu finden für die gilt:
$$\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 4 } \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}=d\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}+e\begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$$
Das führt auf das Gleichungssystem
$$a\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}=e\begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$$
bzw.
$$\left( { \begin{matrix} 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 5 & -3 \\ 5 & 2 & 5 & -3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -5 \\ -6 \\ -3 \\ -2 \end{matrix} } \right)$$
Durch Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus erhält man daraus:
$$\left( { \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -67/19 \\ -42/19 \end{matrix} } \right)$$
sodass man also als Lösungen für die Parameter a, b, c, d erhält:
$$a=e$$$$b=2e$$$$c=\frac { -67 }{ 19 } e$$$$d=\frac { -42 }{ 19 } e$$
und daraus unter Verwendung des zweiten (kleineren und daher weniger recheninensiven) Erzeugendensystems für die gesuchten Vektoren x :
$$\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 4 } \end{pmatrix}=\frac { -42 }{ 19 } e\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}+e\begin{pmatrix} -5 \\ -6 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$$$$=\frac { 1 }{ 19 } e\begin{pmatrix} 84 \\ 84 \\ -126 \\ -126 \end{pmatrix}+\frac { 1 }{ 19 } e\begin{pmatrix} -95 \\ -114 \\ -57 \\ -38 \end{pmatrix}$$$$=\frac { 1 }{ 19 } e\begin{pmatrix} -11 \\ -30 \\ -183 \\ -164 \end{pmatrix}$$
Diese Gleichung beschreibt alle Vektoren x, die die Bedingung der Aufgabenstellung erfüllen. Durch Einsetzen eines beliebigen Wertes für e erhält man damit einen bestimmten dieser Vektoren, etwa für e = 19:
$$\begin{pmatrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \\ { x }_{ 4 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ -30 \\ -183 \\ -164 \end{pmatrix}$$
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