Rechteck im Rechteck mit 3 bekannten Kanten

Question

Hello!

Aufgabe:

Ich habe ein gedrehtes Rechteck in einem Rechteck (keine Quadrahte). Das äussere Rechteck hat die bekannten Kantenlängen a und b. Vom inneren Rechteck ist lediglich nur die Kantenlänge a' bekannt. Alle inneren Rechteckpunkte berühren die Äusseren Kanten.

Ich würde gern die unbekannte Kante b' berechnen.

Problem/Ansatz:

In anderen Fragestellungen hier im Forum ist es einfacher, da entweder der Winkel der Drehung bekannt ist oder alle Kantenlängen. Formelumstellungen der Lösungsansätze lassen mich aber immer mit zu vielen variablen, da ich keinen Winkel habe.

https://www.mathelounge.de/426410/berechnung-gedrehtes-rechteck-schwierige-frage

In den Skizzen und Gedanken, die ich bisher gemacht habe, wirkt es so als gäbe es bei 3 bekannten Kanten nur 1 Lösung für die vierte Kante. Aber stimmt das? Ich komme einfach auf keine Formel mit weniger als 2 Variablen.

Answer 1

Durch das Einzeichnen des inneren Rechtecks werden von dem äußeren Rechteck an seinen Ecken 4 Dreiecke abgetrennt. Wenn man von einem dieser Dreiecke die Katheten mit x und y bezeichnet (x liege auf a und y liege auf b, so hat das benachbarte (ähnliche) Dreieck die Katheten (b-y) und (a-x).

Wegen der Ähnlichkeit gilt x:y=(b-y):(a-x), was sich zu $$y=0,5b\pm\sqrt{0,25b^2+x^2-ax}$$ umformen lässt.

Damit kannst du y durch x ausdrücken. Nun muss noch ein wenig mit Pythagoras hantiert werden.

Comments

Danke vielmal für den ersten Schritt. Die Ähnlichkeit ist mir auch aufgefallen. Ich wusste nur nicht wie anwenden.

"Einwenig" hantieren klang gut, bevor ich mich hingesetzt habe um das mal zu machen. Wenn ich die Länge der Hypotenuse b' gegeben habe und meine Katheten x sowie (deine formel) sind, dann heisst das doch

\(b'^2 = x^2 + (0.5b±\sqrt{0.25b^2+x^2-ax})^2 \)

Würde es dann so weitergehen?

-> Formel nach x umstellen, x wird dann zu einer Bekannten

-> x einsetzen in -> \( a'^2 = (a-x)^2 + (b-y)^2 \)

-> alle Variablen sind dann bekannt, um die Länge von a' zu berechnen

Mein nächstes Problem ist das ausklammern der binomischen Formel mit einem ±. Egal ob mit + oder -, das hat selbst Wolfram Alpha in die knie gezwungen und mein Mathe Knowhow ist etwas eingerostet um das händisch zu lösen.

Falls das die Lösung ist und es keine einfachere Methode gibt, markier ich deine Antwort gern als beste. Danke!