Zeigen Sie die Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Binomialkoeffizienten . Zeigen Sie, dass
\( \left(\begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N}_{0} \text { und } k \in \mathbb{N} \text { mit } n \geq k \text {. } \)

Answer 1

Definiert waren die wohl so \(   \left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) =\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}  \)

==>  \(\left(\begin{array}{c}n \\k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\)

\(=\frac{k\cdot n!}{k!\cdot(n-k+1)!}+\frac{(n-k+1)\cdot n!}{k!\cdot(n-k+1)!}\)

\(=\frac{k\cdot n! + (n-k+1)\cdot n!}{k!\cdot(n-k+1)!}\)

\(=\frac{ (n+1)\cdot n!}{k!\cdot(n-k+1)!}\)

\(=\frac{ (n+1)!}{k!\cdot(n+1-k)!}\)

\(=\left(\begin{array}{c}n+1 \\k\end{array}\right) \quad \)