Geben Sie an, für welche Werte von p dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter \( p \in \mathbb{R} \) :
\( \begin{aligned} x+2 y+4 z &=2 \\ -2 \cdot x+8 y &=2 \\ p \cdot x+4 y+8 z &=8 \end{aligned} \)
Geben Sie an, für welche Werte von \( p \) dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.
\( p \neq \)

Lösungsweg bitte.

Answer 1

Aloha :)

Ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(\ne0\) ist. In Matrix-Schreibweise lautet dein Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 4\\-2 & 8 & 0\\p & 4 & 8\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\8\end{pmatrix}$$

Zur Berechnung der Determinante ziehen wir zuerst aus der zweiten Spalte den Faktor \(2\) vor die Determinante und aus der dritten Spalten den Faktor \(4\). Dann subtrahieren wir die 3-te Spalte von der 2-ten Spalte:$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 4\\-2 & 8 & 0\\p & 4 & 8\end{array}\right|=2\cdot4\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\-2 & 4 & 0\\p & 2 & 2\end{array}\right|\stackrel{(S_2-=S_3)}{=}8\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\-2 & 4 & 0\\p & 0 & 2\end{array}\right|$$Jetzt ziehen wir noch die \(4\) aus der mittleren Spalte vor die Determinante und entwickeln diese nach der mittleren Spalte:$$=8\cdot4\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\-2 & 1 & 0\\p & 0 & 2\end{array}\right|=32\cdot(2-p)$$Die Determinante ist ungleich \(0\), wenn \(p\ne2\) ist. Das heißt, für alle \(p\ne2\) hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.

Comments

Deine Antworten sind die Besten! Danke dir!!!!

Answer 2

Lösungsweg bitte.

Stelle die Zeilenstufenform her und werte sie aus.

Oder arbeite mit der Determinante.

Answer 3

DET([1, 2, 4; -2, 8, 0; p, 4, 8]) ≠ 0 --> p ≠ 2

Die Determinante kann man auch recht einfach mit der Regel von Sarrus bestimmen. Das ist in der Regel schneller und einfacher als vorher irgendwelche Umformungen zu machen.

1·8·8 + 2·0·p + 4·(-2)·4 - p·8·4 - 4·0·1 - 8·(-2)·2 = 64 - 32·p