Grenzwert einer Folge bestimmen (vier Fälle)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für beliebiges \( k \in \mathbb{R} \) den Grenzwert der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegeben mit

\( a_{n}=k^{n+1} \exp (-n) \)

Hinweis: Fallunterscheidung in vier Fälle.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen was unter den vier Fällen gemeint sein soll

Comments

Probiere doch einfach mal etwas aus. Vielleicht k=10, k=2, k=-1,k=-5 ...

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ist e^-n nicht gleich wie e^n ? also sollten für negative Zahlen e auch bis unendlich gehen ?

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ist e^-n nicht gleich wie eⁿ

Autsch. \( \frac{1}{e^n} \) und \(e^n\) sind nicht wirklich gleich (außer mit n=0).

Answer 1

Für |k| ≤ 1 ist der Grenzwert offensichtlich 0.

Für |k| ≥ 1:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) kⁿ⁺¹ exp(-n) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) exp(ln(k)(n+1)) exp(-n) =\( \lim\limits_{n\to\infty} \) exp(ln(k)(n+1)-n) =

1) e für k = e

2) 0 für k<e denn dann gilt \( \lim\limits_{n\to\infty} \) ln(k) *(n+1)-n = -∞

3) +∞ für k> e denn dann gilt \( \lim\limits_{n\to\infty} \) ln(k) *(n+1)-n = +∞

Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion, kann man die Grenzwertbildung in den Exponenten ziehen.

Hoffe das hat geholfen.

LG :)