Achsenschnittpunkte und Scheitelpunkt: f(x) = 2·x^2 + 4·x

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Scheitelpunkt sowie die Achsenschnittpunkte von f.

f(x)= 2x² + 4x

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand erklären wie ich den Scheitelpunkt berechnen und was Achsenschnittpunkte sind?

Vielen Dank.

Answer 1

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Achsenschnittpunkte der Funktion sind die Punkte des Funktiongraphen, die auf einer der Koordinatenachsen liegen. Davon gibt es bei Parabeln mindenstens einen (dort wo die y-Achse geschnitten wird) und höchstens drei (zwei weitere Schnittpunkte mit der x-Achse). In deinem Fall gibt es zwei.

Comments

Danke erstmal,

Und wie bestimme ich den y-Wert des Scheitelpunktes?

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Du hast vermutlich drei Darstellungsarten von Funktionen kennengelernt.

1. Funktionsgleichung
2. Wertetabelle
3. Funktionsgraph

Überleg dir mal, wie diese drei Darstellungsarten zusammenhängen. Insbesondere wie du von der Funktionsgleichung zur Wertetabelle kommst und von der Wertetablle zum Funktionsgraph.

Answer 2

Hallo,

\(f(x)=2x^2+4x\)

Die Scheitelpunktform einer Parabel kann man darstellen als

\(f(x)=a(x-d)^2+e\). Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S (d|e).

Um auf diese Form zu kommen, klammere zunächst 2 aus:

\(f(x)=2(x^2+2x)\)

Um \((x^2+2x)\) in die gewünschte Form zu bringen, verwende die 1. Binomische Formel \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

Es fehlt also noch \(b^2\). Dazu quadrierst du die Hälfte der Zahl vor dem x, hier also die Hälfte von 2. Das ergibt

\(f(x)=2(x^2+2x+1^2)\)

Um das Gleichgewicht zu erhalten, muss du 1 auch wieder abziehen:

\(f(x)=2((x^2+2x+1^2)-1)\)

Die innere Klammer bringst du jetzt in die Form der linken Seite der Formel:

\(f(x)=2((x+1)^2-1)\)

Jetzt die äußere Klammer auflösen:

\(f(x)=2(x+1)^2-2\)

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S (-1|-2).

Aber einfacher ist es wahrscheinlich, du schaust dir dazu ein Video an ;-).

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu bestimmen, setzte du die Gleichung = 0 und löst nach x auf.

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, setzt du 0 für x ein und rechnest aus.

Gruß, Silvia

Answer 3

Aloha :)

Die Achsenschnittpunkte \(A\) zeichnen sich dadurch aus, dass eine der beiden Koordinaten \(=0\) ist.

Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse finden wir durch Einsetzen von \(x=0\) in die Funktionsgleichung. Das liefert uns \(y=f(0)=0\) und damt den ersten Achsenabschnittspunkt \(\boxed{A_1(0|0)}\)

Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind die Nullstellen der Funktion:$$0\stackrel!=f(x)=2x^2+4x=2x(x+2)\implies x=0\text{ oder }x=-2$$Das liefert theoretisch zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, aber den Punkt \((0|0)\) kennen wir bereits, sodass hier nur der Achsenabschnittspunkt \(\boxed{A_2(-2|0)}\) dazu kommt.

Den Scheitelpunkt bekommen wir, indem wir die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umwandeln. Dazu müssen wir den linearen Term \(4x\) loswerden. Das geht mit Hilfe der ersten binomischen Formel:$$f(x)=2x^2+4x=2x^2+4x\,\underbrace{+2-2}_{=0}=2(x^2+2x+1)-2=2(x+1)^2-2$$Da eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist, ist der kleinstmögliche Funktionswert \((-2)\), er wird angenommen, wenn das Quadrat \((x+1)^2\) gleich Null wird, wenn also \(x=-1\) ist. Der Scheitelpunkt der Parabel ist also \(\boxed{S(-1|-2)}\).

Wir fassen das nochmal in einer Grafik zusammen:

~plot~ 2x^2+4x ; {-2|0} ; {0|0} ; {-1|-2} ; [[-3|1|-3|4]] ~plot~