Stetigkeit
$$ | x^3 - x_0^3 | = | x - x_0 | \cdot | x^2 -x x_0 + x_0^2 | \le | x - x_0 | \cdot \left( | x^2 | + | x_0 | \cdot | x | + | x_0^2 | \right) $$ falls \( | x - x_0 | \le \delta < 1 \) gilt folgt
$$ | x^3 - x_0^3 | \le 3 ( |x_0| + 1)^2 \delta $$
und mit $$ \delta = \min{ \left ( 1, \frac{ \epsilon }{ 3 ( |x_0|+1)^2 } \right ) } $$ folgt die Stetigkeit.
Gleichmäßige Stetigkeit
Angenommen es gibt ein \( \delta > 0 \) s.d. für alle \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \) mit \( | x_1 - x_2 | < \delta \) $$ | x_1^3 -x_2^3 | < \epsilon $$ gilt.
Dann wähle \( x_1 = x_2 + \frac{\delta}{2} \) dann folgt
$$ \left| \left( x_2 + \frac{\delta}{2} \right)^3 - x_2^3 \right| < \epsilon $$
daraus folgt
$$ \delta \left| \frac{3}{2} x_2^2 +\frac{3}{4} x_2 \delta + \frac{\delta^2}{8} \right| < \epsilon $$ was ein Widerspruch ist, wenn \( x_2 \) genügend groß gewählt wird.
Lipschitzstetigkeit
Folgt direkt aus dem Mittelwertsatz, weil \( f(x) = x^3 \) differenzierbar ist.
