Grenzwert einer Reihe

Question

Grenzwert berechnen der Reihe

∑_{m,n >=2}    ( (-1)^(m+n) ) / ( m^n ) 

Für 1/(m^n) habe ich sie schon berechnet (in einem anderen beispiel), aber hier weiss ich nicht weiter. Taylorreihen haben wir in der Vorlesung noch nicht gemacht. Wäre sehr dankbar für Unterstützung

Comments

Wie wäre denn die Definition von Reihenknvergenz bei 2 Laufindizes?

Answer 1

Habt ihr schon das Leibnitzkriterium gehabt, wenn ja dann würde ich das mal versuchen

Comments

Ja natürlich aber das sagt einem nichts über den grenzwert

---

Damit kann man aber nur ggf. Konvergenz nachweisen, erhält aber keine Information über den Reihenwert.

---

@Gast hj2166

Hast du eine idee?

---

Schreibe erst mal die geometrischen Reihen für festes m auf, summiere dann deren Grenzwerte über m

---

Für 1/(mn) habe ich sie schon berechnet

Damit hast du hier betragsmäßig die selben Summanden, nur dass "die Hälfte" der Summanden negativ ist.

Sicher lässt sich das Vorgehen hier aus dem vorherigen Vorgehen ableiten...

Answer 2

Da du bereits die absolute Konvergenz der Doppelreihe gezeigt hast,

kannst du die Reihenfolge der Summation frei bestimmen ohne

den Wert der Reihe zu verändern. Es bietet sich an:$$\sum_{m,n\geq 2}(-1)^{m+n}\frac{1}{m^n}=\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^m\sum_{n=2}^{\infty}(-1/m)^n$$$$=\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^m(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1})= ... $$