Wie kommt diese Summe zustande

Question

ich kann leider etwas aus der Vorlesung nicht nachvollziehen.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}=\frac{1}{k \cdot(k+1}=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \)

Wie komme ich von der Linken auf die rechte Seite?

Answer 1

Aloha :)

Der Bruch wurde einfach in zwei Brüche zerlegt.

Das siehst du am besten, wenn du von rechts nach links rechnest:$$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1\cdot(k+1)}{k\cdot(k+1)}-\frac{k\cdot1}{k\cdot(k+1)}=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$$

Comments

Danke wieder mal !!!! :))

Answer 2

Wenn du den Nenner betrachtest, dann erkennst du ja

schnell, dass hier das Produkt von k und k+1 steht.

Also kannst du versuchen diesen Nenner als

Hauptnenner der beiden k und k+1 anzusehen

und über so einen Ansatz wie

a/k + b/(k+1) =  1 / (k*(k+1))

in eine Summe zu zerlegen.

So ähnlich wie bei der Partialbruchzerlegung.