Aloha :)
Das Problem ist hier, dass man die partielle Integration nicht direkt sieht, weil der Faktor \(1\) nicht explizit genannt ist:$$\int\ln^2(x)\,dx=\int\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\ln^2(x)}_{v}\,dx=\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\ln^2(x)}_{v}-\int\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{2\ln(x)\cdot\frac1x}_{v'}\,dx$$$$\phantom{\int\ln^2(x)\,dx}=x\ln^2(x)-\int\underbrace{2}_{=f'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=g}\,dx=x\ln^2(x)-\underbrace{2x}_{=f}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{=g}+\int\underbrace{2x}_{=f}\cdot\underbrace{\frac1x}_{=g'}\,dx$$$$\phantom{\int\ln^2(x)\,dx}=x\ln^2(x)-2x\ln(x)+2x+\text{const}$$
