Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ [0, 1], in denen f stetig ist

Question

Aufgabe:

Es sei
f : [0, 1] → [0, 1],

f(x) :=  x        falls x ∈ Q ∩ [0, 1],
f(x) :=  1 − x  falls x ∈ (R\Q) ∩ [0, 1].

Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ [0, 1], in denen f stetig ist

Problem/Ansatz:

Wie man Stetigkeit einer Funktion nachweist, weiß ich eigentlich, aber wie unterscheidet sich das Vorgehen, wenn man so eine Fallunterscheidung hat?

Kann die Funktion nur im Schnittpunkt x=0.5 stetig sein?

Answer 1

Nutze die Dichte der rationalen und irrationalen Zahlen in \(\mathbb{R}\) um zu schliessen, dass der einzige Stetigkeitspunkt bei jenem \(x\) sein kann, welches die Gleichung \(1 - x = x\) erfüllt.