Grenzwerte berechnen mit x->0

Question

Aufgabe:

Grenzwert berechnen

Problem/Ansatz:

Hi, hab ein Problem bei der Aufgabe. Ich weiß, dass wenn x -> unendliche wäre, man nur die höchsten Potenzstellen raussuchen muss. Aber wie ist es, wenn x-> 0 ist?

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{x^{2}-2 x+5}{\cos (x)}\right) \cdot\left(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

In den ersten Bruch kannst du \(x=0\) einsetzen, weil \(\cos(0)=1\) ist. Das Problem ist der zweite Bruch, den wir uns nun mit Hilfe der 3-ten binomischen Formel genauer ansehen:$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\frac{(\overbrace{\sqrt{x+1}}^{a}-\overbrace{1}^{b})(\overbrace{\sqrt{x+1}}^{a}+\overbrace{1}^{b})}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{\overbrace{(x+1)}^{a^2}-\overbrace{1^2}^{b^2}}{x(\sqrt{x+1}+1)}$$$$\phantom{\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}}=\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$

Damit haben wir den Grenzwert gefunden:$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{x^2-2x+5}{\cos(x)}\cdot\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2-2x+5}{\cos(x)}\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2-2x+5}{\cos(x)}\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{0+0+5}{1}\cdot\frac{1}{\sqrt1+1}=\frac52$$

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Sie, der Herr, sind eine menschliche Maschine!