Aus "Faulheitsgründen" schreibe ich \(Q\) statt \(\mathbb{Q}\)
und \(F_p\) statt \(\mathbb{F}_p\).
Zu a):
1. Sei \(p\) ungerade.
In diesem Falle ist \(-2\) genau dann ein Quadrat in \(Q_p\),
wenn \(-2\) ein Quadrat in \(F_p\) ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn das Legendresymbol \((\frac{-2}{p})=1\) ist,
wenn also \((\frac{-1}{p})=(\frac{2}{p})\) ist.
1.1. \((\frac{-1}{p})=(\frac{2}{p})=1\iff p\equiv 1 (4) \;\wedge\; p\equiv\pm1 (8)\).
Das ist genau dann der Fall, wenn \(p\equiv 1 (8)\).
1.2. \((\frac{-1}{p})=(\frac{2}{p})=-1\iff \lnot(p\equiv 1(4))\;\wedge\; \lnot(p\equiv\pm1 (8)) \).
Das ist gleichbedeutend mit \(p\equiv 3 (8)\).
Insgesamt ergibt sich also:
\(-2\) ist genau dann ein Quadrat in \(Q_p\), wenn \(p\equiv 1,3 (8)\).
2. Sei \(p=2\).
In diesem Fall ist \(-2\) kein Quadrat in \(Q_2\);
denn die Quadratklassen von \(Q_2^*\) werden repräsentiert durch
\(\{\pm 1,\pm5,\pm2,\pm10\}\).
Zu b):
Sei \(p\) ungerade:
Da \((Q_p^*)^2\) \((p-1)/2\) Elemente enthält, liefern
\(x^2\) und \(-2-y^2\) modulo \(p\quad(*)\),
wenn man noch \(0^2=0\) hinzunimmt, \((p-1)/2+1=(p+1)/2\)
verschiedene Werte mod \(p\).
Da \((p+1)/2+(p+2)/2=p+1>p\) ist, müssen die beiden
Ausdrücke \((*)\) einen Wert gemeinsam haben (Schubfachprinzip).
Es gibt also Zahlen \(x,y\), so dass
\(y^2\equiv -2-x^2\), d.h. \((\frac{-2-x^2}{p})=1\).
Folglich gibt es sogar \(y\in Q_p\), so dass
\(y^2=-2-x^2\), was zu zeigen war.
Nun der Fall: \(p=2\).
Wenn die Gleichung in \(Q_2\) lösbar ist, dann muss sie auch
modulo \(8\) lösbar sein, d.h. es muss
ganze Zahlen geben, so dass
\(x^2+y^2\equiv -2\equiv 6\) mod \(8\).
Man überzeugt sich leicht, dass dies nicht möglich ist.
Zu c):
Der Fall eines ungeraden \(p\) ist mit b) erledigt.
Sei nun also \(p=2\).
Ein Element \(2^n\cdot u\) ist genau dann ein Quadrat in \(Q_2^*\),
wenn \(n\) gerade und \(u\equiv 1\) mod \(8\) ist.
Wir betrachten \(z^2=-2-x^2-y^2\). Mit \(x=1\) und \(y=4\)
erhalten wir \(-2-1-4=-7\equiv 1\) mod \(8\).
Nach dem gerade zitierten Satz ist dies ein Quadrat \(z^2\) in
\(Q_2^*\), was zu beweisen war.
