Teilbarkeitsrelation auf Z

Question

a|b ⇔ ∃k ∈ ℤ : a*k= b sei die Teilbarkeitsrelation auf ℤ

a) Zeigen Sie dass | reflexiv uns transitiv ist und für a,b ∈ ℤ aus a|b und b|a folgt a= ±b

b) ∀a,b,c ∈ ℤ folgt aus a|b und a|b+c schon a|c

Kann mir jemand helfen diese Aussagen richtig zu beweisen? Danke!

Answer 1

Zeigen Sie dass | reflexiv ist:

Bedeutet: ∀x ∈ ℤ gilt x|x.

Dem ist so, weil es immer ein k∈ ℤ gibt (nämlich k=1) mit x*k=x.

| transitiv ist bedeutet :

Wenn a|b und b|c folgt a|c . Nach Def. bedeutet das:

∃k ∈ ℤ : a*k= b und ∃h ∈ ℤ : b*h= c

==>    a*k*h= b*h = c, also gibt es i ∈ ℤ

(nämlich i=k*h) mit a*i=c.

a| b und b|a ==> Es gibt....   a*h=b und b*k=a

                 ==>   b*k*h = b

Für b≠0 folgt dann k*h=1 also k=1 und h=1

                                       oder k=-1 und h=-1

                also a= ±b.

Für b=0 folgt aus b*k=a auch a =0 , also ist a= ±b

auch erfüllt.