Volumen Tetraeder bestimmen

Question

Sei A das Tetraeder im ℝ^3

mit den gegebenen Ecken (0, 0, 0), (2, -1, 0), (-1, 2, 1) und (0, -1, 2). Was ist das Volumen von A ?

Answer 1

Aloha :)

Die drei Vektoren vom Ursprung zu den anderen 3 anderen Ecken$$\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec c=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$$spannen ein Volumen auf. Es hat die Form eines Spates. Das Volumen des Tetraeders ist \(\frac16\) dieses Spat-Volumens.

Ich weiß nicht, welche Methode ihr besprochen habt. Das Spat-Volumen kannst du z.B. mit der Determinante oder mit dem Spat-Produkt berechnen. Die Determinante \(D\) geht schneller:$$D=\left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & 0\\-1 & 2 & 1\\0 & 1 & -2\end{array}\right|\stackrel{S_1+=2S_2}{=}\left|\begin{array}{rrr}0 & -1 & 0\\3 & 2 & 1\\2 & 1 & -2\end{array}\right|=-6-2=-8$$Das negative Vorzeichen sagt nur, dass die Vektoren ein Linkssystem bilden, was aber für das Volumen unerheblich ist, wichtig ist der Betrag. Daher ist das gesuchte Volumen:$$V=\frac16\cdot|D|=\frac86=\frac43$$

Answer 2

Ein Sechstel des Spatprodukts der drei von (0,0,0) ausgehenden Vektoren.

Answer 3

V = 1/6 · | ([2, -1, 0] ⨯ [-1, 2, 1]) · [0, -1, 2] | = 4/3