Bestimme jenen Punkt der Parabel f(x)= x²-4x+7, in dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Sekante vom …

Question

Aufgabe:

quadratische Funktion ax²+bx+c; Scheitel S= (-b/2a/c-b²/4a)

Problem/Ansatz:

a) Da der Scheitelpunkt der höchste oder tiefste Punkt der Parabel ist, besitzt die Tangente in diesem Punkt die Steigung 0. Leite die Formel für den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion her.

b) Erkläre, warum es bei einer quadratischen Funktion nicht möglich ist, dass die Steigung er Tangente bei zwei verschiedenen Stellen gleich ist.

c) Bestimme jenen Punkt der Parabel f(x)= x²-4x+7, in dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Sekante vom f im Intervall [-3/2] ist.

Comments

S= (-b/2a/c-b²/4a)???

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S= (^-b/_2a/c-^b²/_4a)     so verständlicher??

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\(S\bigg(-\frac{b}{2a}|c-\frac{b^2}{4a}\bigg)\)

So wäre es mir am verständlichsten gewesen.

Schau mal mein Ergebnis in meiner Rechnung an.

Answer 1

Hallo,

a) ermittle den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:

\( \begin{aligned} f(x) &=a x^{2}+b x+c \\ &=a\left(x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}\right) \\ &\left.=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\right) \\ &\left.=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4 a^{2}}+\frac{c}{a}\right) \\ &=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4 a}+c \end{aligned} \)

Damit hat der Scheitelpunkt die Koordinaten \(S\bigg(-\frac{b}{2a}|c-\frac{b^2}{4a}\bigg)\)

b) Die Steigung der Tangenten entspricht der 1. Ableitung \(f'(x)=2ax+b\). Egal, welche Zahl man für x einsetzt, man erhält immer ein anderes Ergebnis. Geraden mit unterschiedlicher Steigung können nicht identisch sein.

c) Bestimme jenen Punkt der Parabel f(x)= x²-4x+7, in dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Sekante vom f im Intervall [-3/2] ist.

Bestimme die Gleichung der Sekante mit Hilfe des Differenzquotienten, setze das Ergebnis = f'(x), löse nach x auf und setze dein Ergebnis für x in f(x) ein, um die y-Koordinate des Punktes zu bestimmen.

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 2

quadratische Funktion f(x) = ax²+bx+c; Scheitel S= (-b/2a/c-b²/4a)

a)  f ' (x) = 2ax + b ==>  Punkt mit Steigung 0 bei f ' (x) = 0

                  ==>   2ax + b = 0         ==>   x = -b/(2a) .

==>   S = (  -b/2a ;  f(  -b/(2a) )

und \( f( \frac{-b}{2a} ) = a \cdot ( \frac{-b}{2a} )^2 +  b \cdot  \frac{-b}{2a}  + c  \)

\( = a \cdot \frac{b^2}{4a^2}  +  \frac{-b^2}{2a}  + c \)

\( =  \frac{ab^2}{4a^2} +  \frac{-b^2}{2a}  + c \)

\( =  \frac{b^2}{4a} +  \frac{-2b^2}{4a}  + c =\frac{b^2-2b^2}{4a}  + c = \frac{-b^2}{4a}  + c= c-\frac{b^2}{4a}   \)

wie es in der Formel steht.

Answer 3

a) Da der Scheitelpunkt der höchste oder tiefste Punkt der Parabel ist, besitzt die Tangente in diesem Punkt die Steigung 0. Leite die Formel für den Scheitelpunkt des Graphen der Funktion her.
y=ax²+bx+c|-c

y-c=ax²+bx|:a

\( \frac{y-c}{a} \)=\( x^{2} \)+\( \frac{b}{a} \)*x

\( \frac{y-c}{a} \)=(x+\( \frac{b}{2a} \))^2|-(\( \frac{b}{2a} \))^2

\( \frac{y-c}{a} \)=(x+\( \frac{b}{2a} \))^2-\( \frac{b^2}{4a^2} \)|*a

y-c=a*(x+\( \frac{b}{2a} \))^2-\( \frac{b^2}{4a} \)|+c

y=a*(x+\( \frac{b}{2a} \))^2-\( \frac{b^2}{4a} \)+c

S(-\( \frac{b}{2a} \)|c-\( \frac{b^2}{4a} \))

Comments

c) Bestimme jenen Punkt der Parabel f(x)= x²-4x+7, in dem die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Sekante vom f im Intervall [-3/2] ist.

f(x)= x²-4x+7

f(-3)= 9+12+7=28

f(2)= 4-8+7=3

m=\( \frac{3-28}{2+3} \)=-5

f´(x)= 2x-4

2x-4=-5

x=-0,5     f(-0,5)= (-0,5)²-4*(-0,5)+7=9,25 

B(-0,5|9,25)

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Die 3. Zeile versteh ich nicht….von c) mein ich!

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Ich habe es nun eingefärbt. Du suchst den Funktionswert an der Stelle x=2  Der beträgt 3.

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Ups… die 4. Zeile!

Danke für die Mühe!!

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Allgemeine Steigungsformel:

m=\( \frac{y₂-y₁}{x₂-x₁} \)

f(-3)= 9+12+7=28

f(2)= 4-8+7=3

m=\( \frac{3-28}{2-(-3)} \)=\( \frac{-25}{5} \)=-5