Steigung der Tangente gleich Steigung der Sekante

Question

Aufgabe 2:

Sei \( f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \left(3-x^{2}\right) / 2 & \text { für } x \leq 1 \\ 1 / x & \text { für } x>1 \end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass \( f \) auf \( (0,2) \) differenzierbar ist und bestimmen Sie alle \( x \in(0,2) \), so dass die Steigung der Tangente an den Graphen von \( f \) in \( (x, f(x)) \) gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte \( (0, f(0)) \) und \( (2, f(2)) \) ist.

Aufgabe 3:

Sei \( a>0 . \) Zeigen Sie, dass \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x)=-\left(\frac{2 a}{x}-\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \)

in \( x=a \) ein lokales Minimum besitzt.

Answer 1

Aufgabe 3:

Sei \( a>0 . \)

Zeigen Sie, dass \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit\( f(x)=-\left(\frac{2 a}{x}-\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \)in \( x=a \) ein lokales Minimum besitzt.

\(f(x)=-(\frac{2a}{x}-\frac{a^2}{x^2})=\frac{a^2-2ax}{x^2}\)  mit \(\red{x≠0}\)

Quotientenregel: \([\frac{Z}{N}]'=\frac{Z'\cdot N-Z\cdot N'}{N^2}\)

\(f'(x)=\frac{-2a \cdot x^2-(a^2-2ax)\cdot 2x}{x^4}\)  Kürzen:

\(f'(x)=\frac{-2a \cdot x-(a^2-2ax)\cdot 2}{x^3}=\frac{2ax-2a^2}{x^3}\)

\(\frac{2ax-2a^2}{x^3}=0\)

\(x=a\)  Minimum oder Maximum:

\(f''(x)=\frac{2a \cdot x^3-(2ax-2a^2) \cdot 3x^2}{x^6}\)    Kürzen:

\(f''(x)=\frac{2a \cdot x-(2ax-2a^2) \cdot 3}{x^4}=\frac{-4ax+6a^2 }{x^4}\)

\(f''(a)=\frac{-4a^2+6a^2 }{a^4}=\frac{2}{a^2}>0\)Minimum  ✓

Answer 2

sekante hat steigung   ) f(2)-f(0)  ) / (2-0) = -1/2
für x<1 ist f ' (x) = -x  also  f ' (x) = -1/2 genau dann, wenn x=1/2

für x>1 ist  f ' (x) = -1/ x^2   also  f ' (x) = -1/2  genau dann, wenn x=wurzel(2) 

an der Stelle 1 ist f ' (1 ) = -1 also verschieden von -1/2,
deshalb sind  1/2 und wurzel(2)  die gesuchten Stellen.