Wie beweist man Symmetrie der Standardnormalverteilungsverteilungsfunktion

Question

Aufgabe:

Man hat gegeben X ~ N (0,1) mit Verteilungsfunktion Φ(z) = P(X ≤ z) = Integral (obere Grenze z, untere Grenze ist minus unendlich) und dann den Term der Gaußsche Glockenkurve. Ich soll zeigen dass Φ(z)=1-Φ(-z) für z aus reellen Zahlen gilt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll, wäre um Hilfe dankbar.

Answer 1

\( \Phi(z)=1-\Phi(-z) \)

\( \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{z} e^{-\frac{1}{2}t^{2}} \mathrm{~d} t = 1- \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{-z} e^{-\frac{1}{2}t^{2}} \mathrm{~d} t\)

\(\int \limits_{-\infty}^{z} e^{-\frac{1}{2}t^{2}} \mathrm{~d} t + \int \limits_{-\infty}^{-z} e^{-\frac{1}{2}t^{2}} \mathrm{~d} t = \sqrt{2 \pi} \)

\( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)+1\right) + \sqrt{\frac{\pi}{2}} \operatorname{erfc}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2 \pi}\)

\( \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)+1 + \operatorname{erfc}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right) = 2\)

\( \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)+1 + 1 - \operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right) = 2\)

\( 2 = 2\)

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

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In der vorliegenden Form widerspricht das grundlegenden Beweisprinzipien.

Ich bin mir auch ziemlich sicher, dass der Fragesteller mit dieser Antwort nichts anfangen kann, da von erf(x) mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit noch nie etwas gehört hat.

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Ohhhh ok danke ,also ist dieser Beweis falsch? Wie geht man dann vor?

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Er ist falsch aufgeschrieben. Direkte Beweise beginnen NIE mit der zu beweisenden Behauptung.

Das wäre noch zu verschmerzen, wenn alles in Form einer genau-dann-wenn Kette geschrieben wäre. Hat er aber nicht gemacht.

Kannst du mit "erf" überhaupt etwas anfangen?

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Oh ok gut zu wissen. Nein ich kann nichts damit anfangen, bin im 1.Semester Bio und in Mathe bin ich jetzt das erste Mal mit Beweisen konfrontiert und versteh die nicht wirklich.....

Fängt man dann mit einer Beweis-Voraussetzung oder so an?

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Ich wollte noch hinschreiben, dass man auf weitere Antworten warten sollte, da Beweisen nicht zur meiner berufichen Tätigkeit gehört. Aber da war schwupps schon das "beste Antwort" vergeben. Obwohl, wie sich im Nachhinein herausgestellt hat, die Fehlerfunktion dem Fragesteller nicht bekannt ist. Und nun bin ich natürlich selber auf eine bessere Antwort gespannt.