Wie beweist man die Bijektivität mit f(x1, x2)?

Question

Aufgabe:

f: ℝ² → ℝ²

f(x₁, x₂) = (x₁ + x₂, x₁ - x₂)

Problem/Ansatz:

So eine Aufgabe wird in der Klausur drankommen, jedoch haben wir es immer nur mit einem x gemacht. Hier gibt es jetzt x₁und x₂.

Injektivität beweist man ja, wenn man es mit einem x machen muss, so: f(x₁) =  f(x₂)

Unser Tutor hat uns darauf dann hingewiesen, dass man einfach f(x₁, x₂) =  f(x₃, x₄)  rechnen muss. Mehr hat er aber nicht gesagt. Gerade verstehe ich es noch nicht wie man an die Sache rangeht?

Surjektivität : f(x) = y und dann nach x auflösen

Wie funktioniert sowas wenn man x₁ und x₂ hat?

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Kann man dazu genau das selbe Schema anwenden, wie wenn es nur ein x gibt, oder gibt es ein extra Schema dazu?

Liebe Grüße

Answer 1

Es funktioniert in der Tat genauso. Du musst also einerseits zeigen, dass kein Element zwei verschiedene Bilder hat und andererseits, dass du jeden Vektor des Zielbereiches erreichen kannst.

Injektivität: aus \( f(x_1,x_2)=f(y_1,y_2) \) folgen \( x_1=y_1 \) und \( x_2=y_2 \). Erstere Gleichheit liefert \( x_1+x_2=y_1+y_2 \) und \( x_1-x_2=y_1-y_2 \). Das ist ein LGS. Addiere bzw. subtrahiere beide Gleichungen, und man erhält \( x_1=y_1 \) und \( x_2=y_2 \).

Surjektivität: Finde eine Lösung vom LGS \( x_1+x_2=a \) und \( x_1-x_2=b \). Kannst du also \( x_1 \) und \( x_2 \) und Abhängigkeit von \( a \) und \( b \) abgeben? Dann weißt du, dass du mit der Funktion jeden Vektor des \( \mathbb{R}^2 \) treffen kannst.

Comments

Okay gut.

Aber ich hab immer noch keine Ahnung wie ich so richtig an die Aufgabe rangehen soll

Kannst du's mir mit der gegebenen Beispielaufgabe vorzeigen?

Wäre sehr Lieb zum Verständnis

Lg

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Was hast du denn schon versucht? Habe die Antwort ergänzt.

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Also bei der injektivität hab ich es bis jetzt so versucht:

x₁ + x₂ = y₁ + y₂      und        x₁ - x₂ = y₁ - y₂

aber nach was löst man hier auf?

Und bei Surjektivität

x₁ + x₂ = y        und      x₁ - x₂ = y

aber löst man nach jeweils dann beim ersten nach x₁ und beim zweiten nach x₂ auf?

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Im zweiten Fall beides y zu nennen, ist nicht gut.

Spiel halt mal ein wenig mit den Gleichungen herum.