Verständnisfrage: kann man die nur gerade exponenten (Symmetrie) für den beweis gegen bijektivität benutzen?

Question

Aufgabe:

x^4 − 9x^2 + 14 injektiv surjektiv bijektiv reelle zahlen

Problem/Ansatz:

Verständnisfrage: kann man die nur gerade exponenten (Symmetrie) für den beweis gegen bijektivität benutzen? und wie ist das mit der surjektivität

Answer 1

Aloha :)

Nein, kannst du leider nicht. Ob eine Funktion surjektiv, injektiv oder beides (also bijektiv) ist, hängt entscheidend von der Angabe von Definitions- und Wertemenge ab. Schau dir bitte mal deine Funktion an:

~plot~ x^4-9x^2+14 ; [[-4|4|-7|20]] ~plot~

Sie hat den Minimalwert \(y_{\text{min}}=-\frac{25}{4}=-6,25\). Wenn die angegebene Wertemenge nun \([-6,25|\infty]\) ist, wird jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht, also ist die Funktion surjektiv. Wenn die angegebene Wertemenge aber \([-7|\infty]\) ist, wird z.B. das Element \(-7\) der Zielmenge nicht erreicht, die Funktion ist daher nicht surjektiv.

Ähnlich ist das bei der Injektivität. Das rechte Minimum liegt z.B. bei \(x_{\text{min}}=3/\sqrt2\). Wenn die Definitionsmenge der Funktion nun \([3/\sqrt2\,|\,\infty]\) ist, befindest du dich ganz rechts im aufsteigenden Zweig. Jedes Element der Wertemenge wird dann höchstens 1-mal erreicht und die Funktion ist injektiv. Geht die Definitionsmenge der Funktion aber z.B. von \([0|\infty]\) wird z.B. der Funktionswert \(0\) zwei Mal erreicht, sodass die Funktion nicht injektiv ist.

Mit anderen Worten, dem Funktionsterm allein kannst du die Injektivität bzw. Surjektivität nicht ansehen, die Definitionsmenge und die Wertemenge sind mindestens genauso wichtig.

Comments

und wenn der Bereich definiert ist als alle reellen zahlen?

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Wenn die Zielmenge die reellen Zahlen sind, kann eine gerade Funktion nicht surjektiv sein, weil sie niemals auf alle reellen Zahlen abbilden kann.

Wenn die Definitionsmenge die reellen Zahlen sind, kann eine gerade Funktion nicht injektiv sein, weil wegen \(f(x)=f(-x)\) jeder Funktionswert (außer \(f(0)\)) mindestens 2-mal erreicht wird.

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danke, du hast gerade geschrieben meintest aber symmetrisch oder? Das würde es gut erklären und wäre damit eine Begründung

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Ja mit "gerade" meine ich "achsensymmetrisch zur y-Achse"... bin da manchmal etwas schlampig ;)

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Wenn die Zielmenge die reellen Zahlen sind, kann eine gerade Funktion nicht surjektiv sein, weil sie niemals auf alle reellen Zahlen abbilden kann.

Dies würde zwar zutreffen, falls du mit "gerade Funktion" etwa nur ganzrationale Funktionen mit lauter geradzahligen Exponenten meinst. Der Begriff "gerade Funktion" ist aber allgemeiner definiert. Beispielsweise wäre auch die Funktion f mit  f(x) = ln(|x|) eine gerade Funktion. Ihr Wertebereich umfasst aber alle reellen Zahlen.

Auch die gebrochen-rationale Funktion  g mit g(x) = x² / (1 - x⁴)  wäre ein Beispiel einer geraden Funktion mit Wertebereich  ℝ .