Abbildung M --> M beweis bijektivität

Question

Ich verstehe die beweisführung nicht. Kann mir jm den Beweis erklären. Ich verstehe nicht wie aus einer gleichmächtigkeit su rjektiv (einschließlich warum sind sie gleivhmächtig) folgt und ii--> iii verstehe ich gar nicht.

Gegeben φ : M→M. Beweise die Äquivalenz

i) Phi ist injektiv

ii) Phi ist surjektiv

iii) Phi ist injektiv

i--> ii 

|M| = |M|, dann gilt |φ(M)| = |M| = |M|

Aus φ(M) ⊆ M folgt damit φ (M) = M

Somit ist surjektiv.

ii-->ii

Angenommen es gibt a, a1 Element von M mit a ungleich a1 und φ(a) = φ(a1)

Dann gilt |φ(M)| < |M| = |M|

Das ist ein Widerspruch, damit ist Phi injektiv.

Comments

Zu ii --> iii

Es gilt: Kern(φ) = { m ∈ M | f(m) = 0 } ,
Es ist φ(a) = φ(a1) und a - a1 ≠ 0
ist φ linear dann gilt:
φ(a) - φ(a1) = φ(a - a1) = 0  also ist im Kern nicht nur der Nullvektor
aus dim(M) = dim(Kern(φ)) + dim(Bild(φ)) folgt, dass dim(Bild(φ)) < dim(M)
bzw. |φ(M)| < |M|

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also das war nicht die richtige erklärung ich habe den endomorphismus nicht beachtet und glaube dass da linearität keine rolle spielt sorry : ( eigentlich kann man da nicht mehr so viel da zu sagen als da was schon da steht

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@Maaarkus: Du solltest die Behauptung noch mal ganz genau lesen. Da steht eine Voraussetzung ueber M dabei, die essentiell ist, die Du aber grosszuegig gestrichen hast.

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Es gibt da doch noch https://www.mathelounge.de/478522/nachweis-von-bijektivitat-surjektivitat-und-injektivitat mit M = Z, wobei |Z| = unendlich. 

Answer 1

Ich vermute mal dass M eine ENDLICHE Menge ist.

(Sonst würden die Aussagen auch nicht stimmen, wie das

Beispiel f:ℕ ---> ℕ; x --->  2x lehrt.

Die Abb. ist injektiv aber nicht surjektiv. )

Und wenn M endlich ist gilt für jede Teilmenge N ⊆ M:

|N| = | M | ==>   N = M .

Das ist bei i --> ii verwendet worden.

Ich hab das mal ein wenig ergänzt, vielleicht hilft das.

Etwa so 

(|M| = |M|,??)   Die Abb. ist injektiv, also ist sie

als Abb. von M nach dann φ(M)  bijektiv,

(denn wenn die Zielmenge das Bild von φ ist, ist

sie ja automatisch surjektiv) also  gilt |φ(M)| = |M| 

Aus φ(M) ⊆ M folgt damit φ (M) = M (s.o.) 

|N| = | M | ==>   N = M .

Somit ist surjektiv.

ii-->ii   Hier wird ein Widerspruchsbeweis geführt.

Also man nimmt an, das φ surjektiv ist aber nicht injektiv.

Dann müsste es mindestens zwei verschiedene Elemente geben,

die das gleiche Bild haben, also :

Angenommen es gibt a, a1 Element von M mit a ungleich a1 und φ(a) = φ(a1)

Dann gilt |φ(M)| < |M|  ( wegen der Endlichkeit von M . !!!!!!!! ) 

Das ist ein Widerspruch zur Surjektivität, damit ist Phi injektiv.