Hi,
deine Verständnisprobleme kommen m.E. nach daher, dass du einen unvollständigen Bezug zu Funktionen besitzt. Du konzentrierst dich zu sehr auf die Gleichung, die die Funktion beschreibt und übersiehst, dass (grade auch wenn es um Abbildungseigenschaften geht) zu einer Funktion insbesondere die Angabe der Definitions- und Zielmenge gehört. Sonst ist ja gar nicht klar zwischen welchen Mengen überhaupt abgebildet wird und ganz abhängig von der Wahl kann die Antwort auf eine Frage wie "Ist die Funktion bijektiv?" anders aussehen. Nur die Abbildungsvorschrift macht noch keine Funktion, insbesondere gibt es ja auch Funktionen, die nicht durch eine Gleichung ausgedrückt werden können!
Nun zu deiner Frage:
Wenn eine Funktion bijektiv ist, kann man die Umkehrfunktion bilden. Wie verhält es sich bei einer injektiven und surjektiven Funktion, kann man dort auch eine Umkehrfunktion, bei bestimmten Funktionen bilden?
Der erste Satz ist korrekt, allerdings gilt ja nicht nur die eine Richtung. Die Antwort kann man im Grunde in einem Satz zusammenfassen:
"Eine Funktion \(f: D \to Z \) ist genau dann bijektiv, wenn eine Umkehrfunktion \(f^{-1}: Z \to D\) existiert."
Nun zu deinem Beispiel:
ex ist injektiv , nicht surjektiv, da die negativen y-Werte nie erreicht werden oder?
Das wäre zum Beispiel richtig für die Funktion: \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x \).
Trotzdem gibt es eine Umkehrfunktion
Nein, der Logarithmus \(\ln: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} \) wäre die Umkehrfunktion zu \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+, x \mapsto e^x\). Und diese ist bijektiv.
Gruß
