Für ganze Zahlen a,b,d mit d:=ggt(a,b) gilt: 1=ggt(a/d, b/d).

Question

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Beweisen Sie folgende Aussage:

Für ganze Zahlen a,b,d mit d:=ggt(a,b) gilt: 1=ggt(a/d, b/d).

Wie muss ich da vorgehen? Falls sich hier wer auskennt wäre ich sehr dankbar, wenn mir das wer verständlich erklären könnte.

Answer 1

Offensichtlich sind die Divisionen a/d und b/d in Z ausführbar, denn man kann eine Zahl durch einen ihrer Teiler teilen.

Wenn der ggt(a/d , b/d) NICHT 1 wäre, müsste er irgendein k>1 sein.

Damit wären a/d und b/d durch k teilbar, woraus (d*k)|a und (d*k)|b folgen würde.

Dann wäre aber d*k ein größerer gemeinsamer Teiler als d, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

Comments

Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 2

Man kann auch mit dem Lemma von Bezout argumentieren:

Es gibt ganze Zahlen x,y mit xa+yb=d. Dann ist x(a/d)+y(b/d)=1,

also 1=ggT(a/d,b/d).