Satz zu Polynomen nicht verstanden

Question

Hallo, ich habe einen Satz den ich leider nicht verstehe..

Kann mir bitte einer bei dem helfen?

Vor allem verstehe ich nicht was das rot markierte Q(x) darstellen soll und was mit c) gemeint ist..

Könnt ihr mir bitte a) bis c) nochmal verständlich erklären eventuell auch bitte mit Beispielen?

Text erkannt:

a) Ein Polynom \( P(x) \) vom Grade \( n \geq 1 \) besitzt höchstens \( n \) reelle Nullstellen.
b) Falls \( P(x) k \) reelle Nullstellen hat \( (k \leq n) \), so gibt es eine Faktorzerlegung von \( P(x) \) in \( k \) Linearfaktoren, \( d . h \).
\( P(x)=\left(x-\tilde{x}_{1}\right)\left(x-\tilde{x}_{2}\right) \ldots\left(x-\tilde{x}_{k}\right) Q(x) \)
mit den reellen Nullstellen \( x_{i} \) von \( P(x), i=1, \ldots, k, k \leq n \), und einem Polynom \( Q(x) \) vom Grade \( n-k \).
c) Falls für ein Polynom \( P(x) \) mit grad \( P(x)=n \) eine Faktorzerlegung in \( n \) Linearfaktoren gilt, d.h.
\( P(x)=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) \ldots\left(x-x_{n}\right) Q(x), \)
dann ist \( \operatorname{grad} Q(x)=0 \), d.h. \( Q(x)=a \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \).

Answer 1

Spalte von einem Polynom p(x) n-ten Grades so viele Linearfaktoren, wie möglich, ab. Das können höchstens n Linearfaktoren sein. Zu jedem Linearfaktor (x-a) gehört eine Nullstelle x=a.

Beispiel: P(x)= x⁵ - 8·x⁴ + 21·x³ - 28·x² + 38·x - 24=(x²+2)(x-1)(x-4)(x-3) hat die 3 Nullstellen x=1, x=4, x=3.

Comments

Hallo Roland, danke für deine Antwort!

Was ist aber mit dem Q(x) gemeint?

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Das Q(x) wäre in diesem Beispiel gerade x^2 + 2

Also der "Rest" ohne Nullstellen.