Vollständige Induktion zu Teilbarkeit mit Polynomen.

Question

Aufgabe:

Habe eine spannende Aufgabe zu vollständiger Induktion:

Und zwar haben wir ein k∈ℝ. Nun soll gezeigt werden, dass für alle n∈ℕ das Polynom q := x - k ∈ℝ[x] das Polynom p = xⁿ - kⁿ∈ℝ[x] teilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits den Induktionsanfang mit n = 1 geprüft und die Induktionshypothese aufgeschrieben. Dann habe ich mich am IS versucht und kam nah mehreren Umformungen darauf: \( \frac{x^{(n+1)}-k^{(n+1)}}{x-k} \) = \( \frac{k*(x^n-k^n)}{x-k} \) + \( x^{n} \) .

Nur hänge ich jetzt hier. Vielleicht ist mir bereits ein Fehler unterlaufen. Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Verwende die Zerlegung x^(n+1)-k^(n+1) = (x-k) * (x^n + x^(n-1)*k+x^(n-2)*k^2+...+k^n)

bzw. beweise diese mit vollst. Ind.

Comments

Alles klar. Dann versuche ich es mal damit. Danke schon mal für den Ansatz. Ich melde mich nochmal bei Problemen okay?

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Also ich habe mich nun einige Zeit damit beschäftigt, aber komme irgendwie nicht voran... Könntest du mir vielleicht noch ein wenig mehr vom Anfang zeigen, so dass ich dann versuchen kann es zu vollenden. das wäre sehr nett :)

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Induktion braucht man eigentlich gar nicht, denn wenn man rechts in der

Gleichung die Klammer auflöst, entsteht

x^(n+1)+x^n*k +x^(n-1)*k^2+...+x*k^n - x^n*k - x^(n-1)*k^2 - ... - k^(n+1)

und da hebt sich fast alles gegenseitig auf und gibt das Erg.